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関数 f(x) = 4' + α・2 +2 +11a+3 について
(1) t = 2" とおくとき, tの値のとり得る範囲は t>
ア
である。
また,y=f(x)として,yをもの式で表すと,y=e+イ at+ウエα+オとなる。
「カキ
(2)yの最小値が-17 となるとき, α の値は a =
である。
(3)xの方程式f(x)=0が異なる2つの負の解をもつとき、定数αの値の範囲を求めると,
解答
Key 1 (1) すべての実数xに対して2>0であるから
また
t>0
y=(2x)+α・22.2x + 11a + 3 = L + 4at + 11a + 3
(2)g(t)=t+ 4at + 11a +3 とおく。
g(t) = (t+2a)-4² +11a +3 であるから
「ケコ
<a<
スセ
サシ
x=(22)x = 22x =
=(2x)2
(
t = 0 を範囲に含まないた
y
(i) -2a≦0 すなわち a≧0 のとき
y=g(t) のグラフは右の図のようになり,g (t)
は最小値をもたない。
最小値をもたない。
f=
11a+3
ゆえに、最小値が-17となることはない。
-2a
argol
O
(ii) 2a>0 すなわち α < 0 のとき
t
y = g(t) のグラフは右の図のようになり,g(t)は
t = -2α のとき最小値 4α+11a +3をとる。
43
最小値が-17 のとき -4α² + 11a+3= -17
Corgols
2a01
(4a+5)(a-4) = 0 となり
10
t
Egols Solt
sof (R)
4a²-11a-20 = 0
5
a < 0 より
a=―
4
(2.8)orzol
(3) x < 0 のとき
t = 2x < 2°=1
y 1
04a²+11a+3
xの方程式 f(x) =0が異なる2つの負の解をもつとき, tの2次方
程式 g(t) = 0 は区間 0<t< 1 に異なる2つの実数解をもつ。 この
とき,y=g(t)のグラフは次の図のような放物線になる。 よって
(i) 放物線y=g(t) の頂点のy座標が負で
あるから
-4a²+11a+3<0
(ii) 放物線y=g(t) の軸はt= -2α より
0<-2a <1
43
asola
sa
(0100.01)0
60102.0 D (S)
方程式 g(t) = 0 の判別
D>0 としてもよい。
g(1)
ae.
(iii) g(0)=11a+3>0
g(0)
-2a
O
(iv) g(1) = 15a +4 > 0
1
t
(i)より
(a-3)(4a+1) > 0
ゆえに a
1
,
3<alog
1
(ii)より
<a<0
(iv)
SP-D
2
(ii)
3
(Ⅲ) より
a>-
11
フより、
002(i)
1
3
4
0
2
3 a
-0.2727···
11
(iv)より>--
3
15
11 15
4
(i)~ (iv) より, 求めるαの値の範囲は
のカギ!
4
-
15
<a<-1/4
15
-0.2666...
