○ 自然数nの問題 数学的帰納法で証明 の方針で進める。
[2] n=kのとき成り立つと仮定し, n=k+1 のときも成り立つことを示す。
(2)では,n=1, 2, 3の場合を調べて y'm) を 推測 し, 数学的帰納法で証明する。
指針> yn)は, yの 第n次導関数 のことである。 そして, 自然数 nについての問題である
コ+1=
268
無本 例題157 第n次導関数を求める (1)
nを自然数とする。
(1) y=sin2xのとき, yla)=2"sin(2x+2)であることを証明せ。
=2
改とす
asi
nπ
as
重要
に成
「a
(2) y=x"の第n次導関数を求めよ。
p.265 基本事項
(重要158, p.Z1
関数
pC
が
注意 数学的帰納法による証明の要領 (数学 B)
[1] n=1のとき成り立つことを示す。
[2] nーkのとき成り立つと仮定し, n=k+1のときも成り立っことを。
指針
解答
(1) yrm)=2"sin(2x+)
のとする。
2
[1] n=1のとき ゾ=2cos2.x=2sin(2x+;)であるから, ① は成り立っ
π
2
[2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると yle=2* sin(2x+).
2
n=k+1のときを考えると,② の両辺をxで微分して (。
d
kπ
-yck)=2*+1cos(2x+
yrhリ=2" sin(2x+ 無+号)-2sinf2x+ lat1)x|
dx-
-2~
y(k+1)=2*+1sin(2x+
ゆえに
=2*+1 sin{2x+
よって,n=k+1のときも①は成り立つ。iaS)
[1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。
