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総合を3以上の奇数として,次の集合を考える。
1
n
An= {nC1, "C2, ..., nCm=1}
An={nC1,
(1) Agのすべての要素を求め,それらの和を求めよ。
(2)C-1 が An内の最大の数であることを示せ。
(3)A内の奇数の個数をmとする。 mは奇数であることを示せ。
(1) Ag= {9C1, 9C2, 9C3, 9C4}={9,36,84,126}(
よって, Ag の要素の和は
9 +36 +84 +126=255
① を満たす整数とするとき
(2)kを1≦k<n-1
2
シンプルなCk+1-Ch=
n!
もので
実験!!
n!
==
n!
D←nCk
[熊本大]
本冊 数学Ⅱ例題5
n(n-1)...(n-k+1)
k(k-1)...2.1
①から
よって
ゆえに
=
(k+1)!{n-(k+1)}! k!(n-k)!
(k+1)!(n-k)!{(n-k)-(k+1)}
n!
(k+1)! (n-k)!
n-(2k+1)>0
{n-(2k+1)}
nCk+1-nCk>0 $72b5 nC k<nCk+1
nC1<nC2<······<nCn±1
←n Ck = ___n!
k!(n-k)!
←(k+1)! (n-k)! で通
分。
n!=n(n-1)!,
(n-k)!
=(n-k){n-(k+1)}!
nCk+1
なお,
>1を示す
nCk
sv+α)ことで nCk<nCk+1 を導
いてもよい。
(st
したがって,C-1 が An内の最大の数である。
(3)二項定理により,次の等式が成り立つ。ーム)+(-)
(1+x)=„Co+mCx+nC2x2+..+Crx+......+nCmx"
この等式において, x=1とおくと
nCo+nCi+......+nCn=2n
......
②立
←(a+b)"
0-8-=nCoa"+nCia"-1b+...
nは奇数であるから、②の左辺の項は偶数個あり,
C=C(kは0以上以下の整数)であるから
よって
2n
nCo+nC1+.. • +nCn−1 =
2 2
nCi+nCz+…+rCn-1=2"-1-1
3よりn-1≧2であるから, 2-1-1は奇数である。
ゆえに,Am のすべての要素の和は奇数である。
したがって, An内の奇数の個数は奇数である。
......
(*)
+nCra"-"b"+..+nCnb"
Jet
(*) が偶数であると
すると, An 内の奇数の
要素の和は偶数であるか
ら, An内のすべての要
素の和も偶数となってし
|まう。
L
