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第7章 数
基礎問
138 数学的帰納法 (II)
nが自然数のとき、次の各式が成立することを数学的帰納法を
用いて証明せよ.
(1) 1²+2²+...+n² = n(n+1)(2n+1) —......①℗
6
1 1 1≥ 2n
(2)1+ + ・+・・・+
精講
2 3
n n+1
·②
手順は137 と同じですが, n=kのときの式から,n=k+1のとき
この式を作り上げるときに, どんな作業をすればよいのかが問題に
よって違うので,問題に応じてどんな作業をするかを考えなければなりません
(1) i) n=1 のとき
解答
左辺 = 1. 右辺 = 1/2・1・2・3=1
143
よって, n=1のとき, 1 は成立する.
ii) n=kのとき
12+2+…+k2=1/3k(k+1)(2k+1)………T、
が成立すると仮定する.
①の両辺に(k+1)2 を加えて
Kl=1²+2²+…..+k²+(k+1)²
右辺 =1/23k(k+1)(2k+1)+(k+1)2
【左辺に,
12+22+...
+k^+(k+1)
を作ることを考える
(k+1){(2k2+k)+6(k+1)}
1
6
(k+1)(k+2)(2k+3)
これは、①の右辺に n=k+1 を代入したものである。
よって,①はn=k+1 でも成立する。
i), i)より, ① はすべての自然数nについて成立する.
