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(1) 0=36° のとき, sin30=sin20が成り立つことを示し, cos 36° の値を求めよ。
OOO00
236
基本 例題151 3倍角の公式の利用
2
半径1の円に内接する正五角形 ABCDE の1辺の長さをaとし, 0=
(1) 等式 sin 30+sin20=0が成り立つことを証明せよ。
(2) cos0の値を求めよ。
(4) 線分 ACの長さを求めよ。
号とする。
(3) aの値を求めよ。
(山形大」
p.233 基本事項3
指針>(1) 30+20=2πであることに着目。 なお, 0を度数法で表すと72°である。
(1)の等式を2倍角·3倍角の公式を用いて変形すると
(1)は(2)のヒント
cos 0 の2次方程式を導くことができる。 0<cosθ<1に注意して, その方程式を解く
(3), (4) 余弦定理を利用する。(4) では, (2)の方程式も利用するとよい。
解答
) 0=xから 50-2x
50=2π
よって
30=2元ー20
450=30+20
sin30=sin(2r-20)=-sin20
sin 30+sin20=0
3sin0-4sin°0+2sin@cos0=0
このとき
したがって
(2)(1)の等式から
(3倍角の公式
sin0キ0 であるから,両辺を sin0で割って
3-4sin°0+2cos0=0
3-4(1-cos'0)+2cos0=0
4cos'0+2cos0-1=0
sin30=3sin0-4sin'0
忘れたら,30=20+0とし
て,加法定理と2倍角の公
式から導く。
ゆえに
整理して
Cos 0=1+V5
4
0<cos0<1であるから
(3) 円の中心を0とすると, △OAB において, 余弦定理により
AB=OA?+OB?-20A·OBcosθ
=1
E
=1°+1-2-1-1.-1+/5
4
5-V5
B
2
11
0
a>0であるから
5-V5
a=AB=
2
(4) AOAC において, 余弦定理により
D
AC=0A?+OC°-20A·0Ccos20
=12+12-2-1-1.cos20=2-2(2cos"0-1)
=4-4cos0=4-(1-2cos0)=3+2cosθ
E
B
AC>0 であるから
L(2)の(*)から。
AC=
3+2·
-1+V5
5+ 5
1
ミ
4
2
D
練習
151|(2) 0=18° のとき, sin20=cos30 が成り立つことを示しsin16
(3
の値を求めよ。
