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2以上の自然数とするとき,x"-1 を (x-1)2で割ったときの余りを求
めよ。
[学習院大 ]
基本 55,56
((2) 3x+2x7 +1をx2 +1で割ったときの余りを求めよ。
実際に割り算して余りを求めるのは非現実的である。p.94~96 でも学習したように,
① 割り算の問題 等式 A=BQ+R の利用
R の次数に注意 B = 0 を考える
がポイント。
(12) ともに割る式は2次式であるから、余りは ax+b とおける。
(1) 割り算の等式を書いて x=1 を代入することは思いつくが,それだけでは足りな
い。そこで,次の恒等式を利用する。 ただしnは2以上の自然数, α=1,6°=1
a"_b"=(a-b)(a-1+a²-26+α-362+......+ab+b^-1)
(2)x+1=0の解はx=±i
x=iを割り算の等式に代入して,複素数の相等条件
A, B が実数のとき A+Bi=0⇔A=0, B=0
を利用。
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(1) x-1 を (x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余りを 別解 (1) 二項定理の利用。
ax + b とすると,次の等式が成り立つ。
解答
x"-1={(x-1)+1}"-1
x"_1=(x-1)'Q(x)+ax+b
=Cn(x-1)"+..+nCz(x-1)2
+nCi(x-1)+1-1
両辺にx=1 を代入すると
0=a+b すなわち b = -α
① に代入して x"-1=(x-1)'Q(x)+ax-a
=(x-1){(x-1)Q(x)+α}
n個
a=n
よって
b = -αであるから b=-n
ゆえに, 求める余りは
nx-n
(23x100+ 2x97+1 を x2 +1で割ったときの商を Q(x), 余
りをax+b(a,b は実数) とすると,次の等式が成り立
つ。
3x100+ 2x97+1=(x2+1)Q(x)+ax+b
両辺にx=i を代入すると
3i100+297+1=ai+b
i100=(i2)50=(-1)=1, i=(i²) i=(-1) i=i である
tnx-n
ゆえに,余りは nx-n
ここで, x-1=(x-1)(x"-1+x"-2+...... +1) であるか また, (x-α)2 の割り算は
ら
xn-1+x"=2+…………+1=(x-1)Q(x)+α
この式の両辺にx=1 を代入すると
微分法(第6章)を利用する
のも有効である(p.323 重
要例題 201 など)。 微分法
を学習する時期になったら,
ぜひ参照してほしい。
1+1+…….+1=a
から
すなわち
a b は実数であるから
したがって 求める余りは 2x+4
3・1+2i+1=ai+b
4+2i=b+ai
=(x-1)2
a=2, b=4
x{(x-1)^2+..+nC2}
x=-iは結果的に代入
しなくてもよい。
実数係数の多項式の割り
算であるから、余りの係
数も当然実数である。
(1) n2以上の自然数とするとき､x" を (x-2)2で割ったときの全を求めて
2章 10剰余の定理と因数定理
