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重要 例題 209 3 次関数の極大値と極小値の差
関数f(x)=x-6x2+3ax-4の極大値と極小値の差が4となるとき,定数aの
値を求めよ。
指針 前ページの例題と同じ方針で進める。 x=αで極大値, x=βで極小値をとるとすると
極大値と極小値の差が4
f(α)-f(B)=4
f(a), f(B) を実際に求めるのは面倒なので, f(a) - f(B) を α-β,α+β, aß で表し,
更に(α-B)=(a+3)-4cfg を利用することで, at B, cB のみで表すことができる。
解答
f(x)=3x2-12x+3a
f(x) は極大値と極小値をとるから,2次方程式 f'(x)=0 すな
わち3x²-12x+3a=0
① は異なる2つの実数解 α, β
(a<β)をもつ。よって,① の判別式をDとすると D>0
D=(-6)-3-(3a)=9(4-a) であるから 4-a>0
4
したがって a<4
(2)
f(x)のxの係数が正であるから,f(x)はx=α で極大,x=β
で極小となる。
f(a)-f(B)=(ω°-β3)-6(α²-β2) +3a (a-β)
=(a-B){(a²+αβ+β2) -6(a+β)+3a}
=(a-β){(a+B)2-αB-6(a+β)+3a}
a+β=4, ab=a
!
① で, 解と係数の関係より
よって
(a-β)²=(a+B)²-4aß=42-4・α=4(4-α)
α<βより, a-β <0であるから
a-β=-2√4-a
ゆえに f(a)-f(β)=-2√4-a (4°-a-6・4+3a)
=-2√4-a{-2(4-a)}
= 4( √4-a)³
f(a) - f(β)=4であるから
すなわち
(√4-a)³=1
ゆえに, 4-α=1から
4(√4-a)³=4
よって
a=3
√4-a=1
これは②を満たす。
今回は差を考えるので,
α<βと定める。
基本 208
a
x
B
f'(x) +
0
0 +
f(x) 極大 極小 >
3次関数が極値をもつとき
極大値>極小値
< ② から 4-a>0
よって √4-a> 0
325
14-a=(√4-a)²
検討
f(a) -f (B) の計算は,第7章で学習する積分法を利用すると,らくである。
sa-f(B)=f(x)dx=S" (x-a)(x-3)dx=3{-1/(a-B)}
これに α-β=-2√4-a を代入して, f(a)f(B)=4(√4-a) となる。
6
<√4-α=1 の両辺を2乗し
て解く。
←p.352 基本例題 230 (1
の公式を利用。
