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基本例題 29 絶対値と不等式の不
82 00000
次の不等式を証明せよ。
明などの基本の
(1)|a+b|≦|a|+|6|| (2) |a|-|6|≧|a+b) (3) la+b+cl≦lal+10+|
指針▷(1) 例題 28 と同様に,(差の式) ≧0は示しにくい。
重要
de+pas\\&+D\² $328 30
解答
|A=A2 を利用すると, 絶対値の処理が容易になる。 そこで
A≧0, B≧0の
A≧B⇔A'≧B'A'-B'≧0の
の方針で進める。また、絶対値の性質(次ページの①~⑦) を利用して証明してもよい。』
(23)と似た形である。 そこで, (1) の結果を利用することを考えるとよい。
*****RO
CHART 似た問題 11 結果を利用 ② 方法をまねる
(1)(|a|+|6|)²-la+b=a²+2|a||6|+b²-(a²+2a6+62) ◄|A|²=A²
<|ab|=|a||6|
2
=2(|ab|-ab)≧0
よって
la+b≧(|a|+|6|) 2
|a+b≧0,|a|+|6|≧0から
la+6|≦|a|+|6|
別解] 一般に,一|a|≦a≦|a|,-|6|≦6≦|6| が成り立つ。
H
この不等式の辺々を加えて
(a+16)≦a+b≦|a|+|6|
したがって |a+6|≦|a|+|6|
de
(2)(1) の不等式での代わりにa+b, bの代わりに―6と
おくと
|(a+b)+(−b)| ≤|a+b|+|-b|
de+pas
ゆえに |a|-|6|≦la+6|
よって |a|≧|a+6|+|6|
別解 [1] |a|-|b|<0 のとき
よって
a+b≧0であるから,|a|-|6|<|a+6|は成り立つ。
[2] |a|-|6|≧0のとき
|a+b1²-(|a|-|6|)²=a²+2ab+b²-(²-2|a||6|+62)
=2(ab+lab)≧0
よって
(|a|-|6|)2≦|a+b2
|a|-|6|≧0,|a+b≧0であるから
[1], [2] から
lal-1b|≤|a+bl
(3) (1) の不等式での代わりにb+c とおくと
la+(b+c)|≦la|+|b+cl
a+b+cl≦|a|+|6|+|c|
05 608-
-B≦A≦B
+S) ≤ (
⇔[A]≦B
ズームUP参照
DOCU
(ay lal+1b/+/c/
a66650s
|a|-|6|≦la+6|
この確認を忘れずに。
|A|≧A, AI≧-A から
-|A|≦a≦|A|
P
|a|-|6|<0≦|a+6
[2] の場合は, (2) の左辺,
右辺は0以上であるから,
(右辺) (左辺)20を示
す方針が使える。
+04 105 (0+
14-08-
133c¹2
(1) の結果を利用。
(1) の結果をもう1回利用。
(|b+cl≦|6|+|c|)
1+RB+++
