基本 例題 68 対数微分法
次の関数を微分せよ。
(x+2)4
(1)y=
y= 3/
x²(x²+1)
(2)y=xxx>0)
00000
[(2) 岡山理科大]
基本 67
利用。
x)
x)
るから
ex)
とら
|指針
(1)右辺を指数の形で表し,y=(x+2) xf (x+1)として微分することもできるが
計算が大変。 このような複雑な積・商・累乗の形の関数の微分では, まず, 両辺 (の絶
対値) の自然対数をとってから微分するとよい。
→積は和,商は差, 乗は倍となり, 微分の計算がらくになる。
(2)(x)=x-1 や (α*)' =α*10ga を思い出して, y'=xxxl=x* または
y=x*10gxとするのは誤り! (1) と同様に,まず両辺の自然対数をとる。
CHART 累乗の積と商で表された関数の微分 両辺の対数をとって微分する
(1) 両辺の絶対値の自然対数をとって
log|y|=//{410g|x+2|-210g|x|-log(x+1)}
解答
両辺をxで微分して1=13142
2
2x
y
x x2+1
よって
y'=
1/3
y
(x+2)
=
1.4x(x2+1)-2(x+2)(x+1)-2x2(x+2)
(x+2)x(x+1)
1-2(4x-x+2)
3
3(x+2)x(x+1) Vx2(x2+1)
2(4x2-x+2) 3/
x+2
3x(x+1) Vx(x+1)
(2)x>0であるから, y>0である。
両辺の自然対数をとって
両辺をxで微分して
logy=xlogx
y = 1.10gx+x.-
=
y
y=(logx+1)y=logx+1)x*
よって
||y|=
x+2/
|x(x²+1)
として両辺の自然対数をと
(対数の真数は正)。
なお, 常に x 2 +1> 0
対数の性質
loga MN=loga M+logaN
M
loga N
-=log.M-loga N
logaM=kloga M
(a>0, a+1, M>0, N>0)
両辺>0を確認。
<logy をxで微分すると
x
(logy)'=y'
