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基本 例題103 約数と倍数
のの0
a, bは0でない整数とする。
p.468 基本事項
(1) と
40
がともに整数であるようなa をすべて求めよ。
a
a
(2) aともがともに3の倍数ならば,7a-4b も3の倍数であることを証明せよ。
(3) aがbの倍数で、かつaが6の約数であるとき,aをbで表せ。
「aがbの倍数である」 ことは,「6がa の約数である」
ことと同じであり,このとき,整数々を用いて
指針
bはaの約数
a=bk
Laは6の倍数
a=bk
と表される。このことを利用して解いていく。
(1) aは5の倍数で,かつ 40 の約数でもある。
解答
(1) -が整数であるから, aは5の倍数である。
=k(kは整数)とおい
てもよい。
コ ゆえに,kを整数としてa=5kと表される。
40
40
8
よって
4a=5k を代入。
a
5k
k
40
が整数となるのは,kが8の約数のときであるから
k=±1, ±2, ±4,±8
a=±5, ±10, ±20,±40
(2) a, bが3の倍数であるから,整数 々,1を用いて
a
(負の約数も考える。
4a=5k にkの値を代入。
したがって
a=3k,b=3/
と表される。
7a-46=7-3k-4·3/33(7k-4/)
7k-41は整数であるから,7a-4bは3の倍数である。
(3) aがbの倍数, aがbの約数であるから, 整数k,!を用いて
よって
一整数の和,差積は整数で
ある。
と表される。
a=bk, b=al
a=bk をb=al に代入し, 変形すると
aを消去する。
k,1はともに1の約数であ
6(kl-1)=0
bキ0 であるから
kl=1
k,1は整数であるから
k=l=+1
したがって
a=±6
る。
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