学を中心にして
82 区別できないもののグループ分け
赤球7個, 白球5個をA,B,Cの3つの箱に入れる.
(1)赤球7個だけを3つの箱に入れるとき,入れ方は何通りか.ただし,
球が入らない箱があってもよいものとする。
(2)赤球7個と白球5個を3つの箱に入れるとき,入れ方は何通りかた
だし、球が入らない箱があってもよいものとする.
(3)どの箱にも1個以上の球を入れるとき,赤球7個と白球5個を3つの
箱に入れる入れ方は何通りか.
解答
赤球を白球を○として, 箱 A, B, Cに入る球の個数を,
0011000
( 青山学院大 )
･･･Aに3個, Bに1個, Cに3個の赤球
･･･Aに3個,Bに0個, Cに2個の白球
のように表すこととする.すなわち,
左の (仕切り)より左側にあるものがAに入る球
2つの(仕切り) に挟まれている部分にあるものがBに入る球
右の(仕切り)より右側にあるものがCに入る球
であるとする.
(1) 赤球7個を A, B, C に入れる入れ方は,
7個と2本は区別できないので、
07個と 2本の並べ方
を考えればよいから,
9!
7!2!
「同じものを含む順列」 で並べ方を考える
-=36(通り)
(2)(1)と同様にして, 白球5個を A, B, C に入れる入れ方は,
○5個と | 2本の並べ方
を考えればよいから,
7!
-=21 (通り) となる。 同じものを含む順列
5!2!
赤球7個の入れ方は36通りあり、そのそれぞれに対して、白球の入れ方が 21 通
りずつ存在するから,
赤球のある1つの入れ方に対して、白球の入れ方
36×21=756 (通り)は21通りあるから, 36×21通りである
(3)(2)で求めた756通りから、球が入っていない空の箱ができる場合を除けばよい.
(ア) 空の箱が2つできるとき
81 (3)と同じ発想
すべての球がA, すべての球がB, すべての球がC
の3通りの場合がある.
164
49
(イ) 空の箱が1つできるとき
箱Aに球が入らないとする.このとき, 赤球7個を B, Cに入れる入れ方は,
