R
1
減少
重要 例題 92 既約分数の和
00000
pは素数m,nは正の整数でm<nとする。mとnの間にあって, pを分母と
する既約分数の総和を求めよ。
$1=1
61=-5
7+58r
指針▷既約分数の和→全体の和から整数の和を除くという方針で求める。
まず,具体的な値で考えてみよう。 例えば,2と5の間にあって3を分母とする分数は
11
8 9 10
7
3'3'
3'3'
(*)
解答
であり、既約分数の和は(*)の和から3と4を引くことで求められる。
このことを一般化すればよい。
gを自然数として, m<g
p
① のうち、
- pn-pm-1
2
9
12 13
3,
3
pm<g<pnであるから g=pm+1,pm+2,
よって
9_pm+1 pm+2
Þ þ P
これらの和をS とすると
これらの和を S2 とすると
S2=
が整数となるもの
_=m+1,m+2,
-< n を満たす
14
3' 3
n-m-1
2
-(m+n)
S=
(+
24288 Les ass
(n-1)-(m+1)+1
2
159), arc
-(m+n)
p
S=(pn-1)-(pm+1)+1(om+1.pn-1)S=1/2"(a+1)
SODUL P
......
pn-1
n-1
を求める
………, pn-1
-{(m+1)+(n-1)}
【同志社大]
1/2 (m+n){(n−m)p−(n−m)}
1/12(m+n)(n-m)(b-1)
ゆえに 求める総和をSとすると, S=S-S2 であるから
pn-pm-¹ (m+n)_n_m−¹(m+n)
2
2
(*)は等差数列であり、3と4は
2と5の間にある整数である。
「とんの間」であるから,
両端のとnは含まない。
< 初項
基本 89,90
pm+1
か
公差 1
等差数列。
GROER)
45.= n(a+1)
mとnの間にある整数。
(全体の和) (整数の和)
523
3章
12
等差数列
委
Ja
に
