重要 例
(x+y, xy) の動く領域
20
0000
実数x,yx2+y2≦1 を満たしながら変わるとき, 点(x+y, xy) の動く領域 |
を図示せよ。
指針
x+y=X, xy=Yとおいて, X, Yの関係式を導けばよい。
①条件式x2+y≦1 を X,Yで表す。
→x2+y2=(x+y)²-2xy を使うと
しかし、これだけでは誤り!
DET
X2-2Y≦1
② x, y が実数として保証されるような X, Yの条件を求める
→ x,
重要 129
x, yは2次方程式2-(x+y)t+xy=0 すなわち 2-Xt+Y=0 の2つの解で
あるから,その実数条件として
判別式 D=X2-4Y0
① 実数条件に注意
X=x+y, Y =xy とおく。
解答 x+y=1から
(x+y)²-2xy≦1 すなわち X2-2Y≦1
X2
したがって
Y≥
......
①
ると
ここで
また,x,yは2次方程式2-(x+y)t+xy=0 すなわち2数α,Bに対して
-Xt+Y=0の2つの実数解であるから, 判別式をDとす
D≧0
D=(-X)-4・1・Y=X2-4Y
p=α+B,g=aβ
とすると,α,Bを
解とする2次方程
よって,X2-4Y0からでき
式の1つは
x-px+g=0
ya
1
4
y= 2 2
2
AST
X2 1
日本
①②から
2
4
y=
24
検討
変数を x, yにおき換えて
11/2² - 1/1 Sy ≤ 11214
-
2
4
したがって、求める領域は、右の図の
斜線部分。ただし、境界線を含む。
実数条件(上の指針の)が必要な理由
-√2
1-2
12
0
√2
x
x2
2
1/2とす
4
x+y=X, xy=Yが実数であったとしても, それが x2 +y'≦1 を満たす虚数x,yに対応し
1/12/+/12/i.y=1/2-2/21のときx+y=1 (実
たX, Yの値という可能性がある。 例えば, x=-
数), xy=
2,
(実数) で, x2+y'≦1 を満たすがx, yは虚数である。 このような(x, y) を
除外するために 実数条件を考えているのである。
