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2 第2章 高次方程式
Think
x ²2
2次式の因数分解
(1) 複素数の範囲で考えて、次の式を因数分解せよ。依
ア 3xxのを求めよ。
例題 47
x-160
(2) xxy-6²-9x+ky+20 が1次式の積となるように熱の値
LONE
を定めよ.
|解答
考え方 (1) (与式)=0とおき、xの2次方程式を考えると,複素数の範囲で必ず解をもっ
(2) まずxの2次式とみて因数分解し, これがx,yの1次式の積になると考える。
(1+AS)E
別解では,
「与えられた式が1次式の積で表される」
⇒
(1) (ア) 31=0の解は,
(2)
SA
)の形に因数分解できる」ことから(
__(-1)±√(-1)-4・3・(-1)_1±√13
2.30
(沖縄)(増量)]
x2+(y-9)x-6y2+ky+20=0
の判別式をDとすると,①の解は,
x=
2
したがって, 与式は,
x=-
よって15
3x-x-1=3x--
(イ)x16=(x-4)(x+4)=(x-2)(x+2)(x+4人 3x²-x-1=0の2
x2+4=0の解は,x2=-4 より
解をα, βとすると、
したがって,x+4=(x-21)(x+2i)
左辺は
よって, x-16=(x-2)(x+2)(x-2)(x+2i)
の2次方程式
3x²-x-1
S
__(y-9)±√D_9-y±√D
と因数分解できる.
4
1+√13
6
√13)(x-1-√13)
6
(5)=(x-9-y+√D
2
3569 10
2
x=±2i
x-9-y-√D
(1)
D=(y-9)²-4・1・(-6y2+ky+20 )
=y°-18y+81+24y²-4ky-80) == (S-88
=4(k+9k+14)=4(k+7)(k+2)
したがって, 4(k+7)(k+2) = 0
よって,
k=-7, -2
****
=25y^-2(9+2k)y+1=0
2(1)(
したがって、与式がx,yの1次式の積になるのは,
根号の中のDがyの完全平方式であるときである.
yについての2次方程式 25y²-2(9+2k)y+1=0 の
判別式をDとすると,D=0である.
wimm
D={(9+2k)}^-25・1=4k²+36k+56
)() の形で表す。
解の公式を用いる。
の係数3を忘れ
ないこと
ESTE
=3(x-a)(x-β)
と因数分解すること
ができる.
yの2次式
|完全平方式とは,
ay-α)” の形のこと
完全平方式であるか
ら、重解をもつ
(判別式) = 0
100900-8+ x(+9)+*
注)Dがyについての2次式なので､Dをa(y-α)² と表すことができればDyの
1次式として表すことができるので､Dがyの完全平方
k-7 のとき
D = ( 5y+1)^
k=2のとき
D=(5y-1)²
