例題 248 連続する整数の積
nを整数とするとき,次の問いに答えよ.
(1) 連続する3つの整数の積が6の倍数であることを示せ
(2)2m²+3m²+nが6の倍数であることを示せ
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考え方 (1) 連続する3つの整数は, 「n, n+1, n+2」 や 「n-1, n, n+1」 などの表し方が
解答)
ある.
6の倍数は, 6×(整数) で表せるが, 違う見方をすると, 6の倍数は、2の倍数であ
かつ、3の倍数であることから, 3つの連続する整数が, 2の倍数であることと、
3の倍数であることを示す.
(2)2+3m²+nを連続する3つの整数の積で表せないか考える。
(1) 3つの連続する整数の積をn(n+1)(n+2), 整
数とすると,
(i) n=2k のとき,
n(n+1)(n+2)=2k(2k+1)(2k+2)
2k: 偶数
2k+1 : 奇数
(2k+1) (2k+2) は整数より,n(n+1)(n+2)は2の倍数である。
n=2k+1 のとき,
n(n+1)(n+2)=(2k+1)(2k+2) (2k+3)
=2(2k+1)(k+1)(2k+3)
(2k+1)(k+1)(2k+3) は整数より, n(n+1) (n+2) は2の倍数である。
(ii) n=3k のとき,
n(n+1)(n+2)=3k(3k+1)(3k+2)
k(3k+1)(3k+2) は整数より, n(n+1)(n+2)は3の倍数である.
n=3k+1 のとき,
n(n+1)(n+2)=(3k+1)(3k+2)(3k+3)
26g+5=3(3k+1)(3k+2)(k+1
(3k+1)(3k+2) (k+1) は整数より, n(n+1) (n+2) は3の倍数である。
I+l-n=3k+2 のとき
#1 (1) n(n+1)(n+2)=(3k+2)(3k+3)(3k+4)-
YAR8=3(3k+2)(k+1)(3k+4)
(3k+2)(k+1)(3k+4) は整数より, n(n+1)(n+2)は3の倍数
(i), (i)より, n(n+1) (n+2) は2の倍数であり3の倍数であるから, 6の倍
数である.
よって、3つの連続する整数の積は, 6の倍数である.
(2) 2m²+3m²+n=n(x²+3n+1)
例
考え
解答
