阪電通大)
+ 6
式を導く。
+6
左跡で
第10章 複素数と方程式
例題 26
3次方程式の解と係数の関係の利用
☆☆☆
3次方程式x35x2+ax+b=0の1つの解が1-2であるとき,実数a,b の値を求めよ。
また、他の解を求めよ。
〔岡山理科大〕
与えられた虚数解と共役な複素数も方程式の解
考え方 実数係数の3次方程式f(x)=0 が虚数解b+qi (p,q は実数)をもつならば,それと共役な複素数 カーgiも
f(x)=0 の解である。
b
この問題の代表的な解法は次の3つであるが、下の例題の解答では③の解法を用いてみる。
① 虚数解を方程式に代入し, i について整理。
2 p±gi を解とする2次方程式をg(x)=0としたとき, f(x) g(x) で割り切れることを利用。
つい
(3) 残りの解をαとして, 3次方程式の解と係数の関係を利用。
⇒ ax+bx+cx+d=0 (a≠0) の3つの解をα, β,γとすると
b
d
a+β+y=-
aβ+βy+ra=
=m, abr=
a
a'
a
解答
→方程式の係数がすべて実数であるから, 1-2iが解のとき, 共役な複素数 1+2i
も解である。
12i, 1+2i以外の解をαとすると, 3次方程式の解と係数の関係から
a+(1-2i)+(1+2i)=5,
a(1-2i)+(1-2i)(1+2i)+(1+2i) a=a,
a(1-2i) (1+2i)=b
これを解いて
α=3, a=11,6=-15
また、他の解は
1+2i, 3%
ポイント
① 共役な複素数も解
② 解と係数の関係を利用
連立方程式を解く
