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例題
182
例題 195 対数関数の最大・最小〔3〕
x≧2, y ≧2,xy = 8 のとき,次の式の最大値と最小値, およびそのと
きのx,yの値を求めよ。
(1) (log2x) (log2y)
思考プロセス
文字を減らす
(1)
2変数関数
(log2x) (log2y) の最大・最小
解 (1) xy = 8 より
の利用
8
(2)yを消去してlogx - とすると,底にも真数にもxが含まれてしまい考えにくい。
x
どちらかを定数にできないか?
Action》 対数の積・商を含む式は,対数を1つの文字に置き換えよ
8
x≧2, y=- ≧2より
x
t =
y =
log2x = t とおくと, ② より
このとき
(log2x) (log2y)=t(3-t)
8
x
(2) logx y =
8
①より (log: x)(log: y) = (log: x)(log:-)
③ において、 右のグラフより,
(log2x) (log2y) は
条件
log₂ y
log2x
1文字消去
=
.. 1
2
3
9
· - (₁ - 2/2 )² + 2/
4
® *), 1/1/1 ≤ 1/2 =
③より,
2
t
(2) logxy
2 ≤ x ≤4
= (log2x) (3-log2x)
1≤t≤2
9
4
3
9
すなわち x = y = 2√2 のとき 最大値
2
3-log2x 3
log2x
t
t = 1, 2 すなわち
x=2,y=4 またはx=4, y=2 のとき 最小値2
≧1 であるから
2
xのみの関数
.. 3
(log2x) (log2y)
1
したがって, logxyは
t=1 すなわち x = 2, y =4 のとき
t = 2 すなわち x = 4, y = 2 のとき
+32
132
3
-1≦2
最大値 2
最小値
t
1
2
(別解)
log2x = X, log2y=Yと
おくと, x≧2,y≧2ょ
り
X ≧ 1, Y ≧ 1 …(*)
xy = 8 より
log2xy = log28
log2 x + logzy = 3
よって X+Y = 3
(*) より 1 ≦ X ≦ 2
(与式) = XY
= X (3-X)
= -(x - 12/2) + 2/
以下同様
■t=log2x=
このとき
x = 2 ² = 2√2
y=
8
2√2
log2y=log2
3
2
8x
1
2
より
2√2
=3-log2x
=1のとき
CT
のとき
