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数学 高校生

黄色マーカーの変形が理解できません。 ( |a|+|b|)^2=a^2+2|a+b|+b^2ではないんですか? どのように考えれば2abとなるのでしょうか? |a+b|^2との違いがイメージできません

52 基本例題 29 絶対値と不等式 次の不等式を証明せよ。 (1)|a+b|≦|a|+|6| 指針 (1) 例題 28と同様に,(差の式) ≧0は示しにくい。 解答 |A=A2 を利用すると, 絶対値の処理が容易になる。 そこで A≧0, B≧0の A≥B⇒A²≥B² ⇒ A²-B²≥0 ......... の方針で進める。また,絶対値の性質 (次ページの①~⑦) を利用して証明しても (2),(3)(1) と似た形である。そこで,(1) の結果を利用することを考えるとよい。 CHART 似た問題 ①1 結果を利用 2 方法をまねる (2) lal-lbl≤la+b\ 口 (1)(|a|+|6|)²-|a+b=a²+2|a||6|+62-(a²+2a6+6²) =2(|ab|-ab)≧0 よって la+b≧(|a|+|6|)² la+b≧0,|a|+|6|≧0 から |a+6|≦|a|+|6| [別解] 一般に,一|α|≦a≦|al, -|6|≦b≦|b| が成り立つ。 この不等式の辺々を加えて h−(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b| したがって |a+6|≦|a|+|6| (2) (1) の不等式でαの代わりに a +6, 6 の代わりに -b と おくと (a+b)+(-6)|≦|a+b|+|-6| よって |a|≦|a+6|+|6| 別解 [1] |a|-|6| <0のとき a+b≧0であるから,|a|-|6|<|a+6は成り立つ。 [2] |a|-|6|≧0のとき (3) |a+b+cl≦|a|+|6|+ 基本28 90snis 注意 |a+b_(|a|-|6|)"=a²+2ab+b²-(a²-2|a||6|+b2) =2(ab+lab)≧0 よって (|a|-|6|)≦la+b |a|-|6|≧0,|a+b≧0であるから [1],[2] から |a|-|6|≦|a+6| よって ゆえに|a|-|6|≧|a+b1 練習 (1) 不等式 (3)(1) の不等式でbの代わりに 6+c とおくと la+(b+c)|≦|a|+|b+cl |a+b+cl≦|a|+|6|+|c| ².1 13 ≦|a|+|6|+|cl |a|-|6|≦|a+6| ◄|A|²=A² |ab|=|a||6| この確認を忘れずに。 |A|≧A, |A|≧-Aか |-|A|≦a≦|A| - B≦A≦B ⇔ [A]≦B 重要 30 mm+ ズーム UP 参照。 DOCU ◄|a|-|b|<0≤|a+b\ [2] の場合は,(2) 左 右辺は0以上であるから (右辺(左辺) 0 を す方針が使える。 = (1+0)! (1) の結果を利用。 <(1) の結果をもう1回利用 (|b+cl≦|6|+|c|}

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数学 高校生

平面ベクトルの問題です。 青色の[のところで、条件を満たすaベクトルとbベクトルが存在することを確認したと解説に書いてあります。ここでは絶対値bベクトルの値のみを出していますが、何故これだけでaベクトルも存在すると言えるのでしょうか?

598 第9章 平面上のベクトル Check 例題 341 内積とベクトルの大きさ (3) ベクトル , が |a-6|=1, |2a+36|=1 を満たすとき, la +6の最 大値、最小値を求めよ. [考え方 a-t=u, 2a+3= v とおくと, ||=1, |v|=1, +6=1/12 (+27) となる. ■解答 ①, 2a+35 = v..... ② とおくと, ||=1, |v|=1 ①,②より, d, u, o で表すと, v-2u a=³u+v₁ f = v 5 á+b=- u+2v よって, 5 lã+ô²= ù+²ï ³ = ² (lū²+¹ù •õ +4|b³²) u+2v =(\ 5 25 = 5 1 = (1²+4u •v+4×1²)=(5+4u•v) … ③ 25 25 ここで,|||| ||||より -1≤u.v≤1 したがって、 ③ より 1/5 += 1/35 部 25 25 là tỏ lào 2 ô là tôi 6-23 となるのは、1のときであり、このと きことは同じ向きで, ||=||=1 であるから, u=v すなわち, ① ② より, a-6=2a+36 であるから a=-4b このとき,la-6|=|-56|=1 より |6|= += 1/3 となるのは,v=-1のときであり,このと きとは逆向きで, ||=||=1 であるから, すなわち, ①,②より, a-6=(2a+3) であるから, u=-v 3 このとき,一=一=1より。 16=2号作る よって、16の最大値 24 25 最小値 1/3 *** 練習 341 大値、最小値を求めよ. *** ① ×3+② より 5a=3u+v ②① ×2より 56=v-2u |||=1, |v|=1 a∙b=alb|cose -1≤cos 0≤1 h), -laba-bab a = |a| 6| のとき、 COS 01 より, 0=0° 条件を満たすa, b が存在することを確 認したが、省略して もよい。 at = -12||3|のと 3, cos0=-1), 0=180° 平面上のベクトルa,b が \2a+6=1, la-36|=1 を満たすとき、a+6の P.603@ Chec 1511 「考え 解

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