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基本 例題 26
比例式の値
比例式は比のかんけいを表す(値
ではどんな色でも立って
ののののの
47
y+z=z+x
x
y
2
x+yのとき、この式の値を求めよ。
CHART & SOLUTION
比例式はんとおく
基本 25
1
4
式・不等式
等式の証明ではなく,ここでは比例式そのものの値を求める。
y+z=z+x
x
xx+y=kとおくとy+z=xk, z+x=yhx+y=k
y
Z
この3つの式からの値を求める。 辺々を加えると, 共通因数x+y+z が両辺にできる。
これを手がかりとして, x+y+z またはkの値が求められる。 求めたんの値に対しては,
(母)≠0(x0,y=0, z≠0) を忘れずに確認する。
円
分母は0でないから
くための
条件が
ではない
a÷0
xyz=0
→は答えが1つに定まらない存在しな
y+z_z+x_x+y=kとおく刺が成三角比とか
x
y
◎立つことを言うとおける/
x2=03-y+z=xk...①, z+x=yk…②, x+y=zk ③
①+②+③ から 2(x+y+z)=(x+y+z)k
よって (k-2)(x+y+z=0→どちらからみないから
=2または x+y+z=0のときにもんだいの式が
ゆえに
しか
[1] k=2のとき x=y=zとなる
y+z=2x... ④,z+x=2y
から
かつ y=0 かつ z=0
←xyz≠0 x=0
減り立たないと答えが営まらな
SKとおけない(定数)
x+y+zが0になる可
能性もあるから,両辺を
11
45-1-5
50:50
20=0=0.
切り立つ場合分ようこれで割ってはいけな
い。
びた①、②、③からこ
Z+X xy
y=2
が成り立つ=kの値
正しい
-y+2 ④⑤から
⑤ x+y=2z
でな
y-x=2x-2y
(6) ⇒立つ
したがって
これを⑥ に代入すると x+x=2z よってx=z
い
よって x=y
おにん
①何も残
牛の
x=y=z こうしないと与式がなりた
もんだい)
なぜこの証明がいるのか
x=y=z かつ xyz = 0 を満たす実数x, y, z の組は存在する。例えば x=y=z=1
Q [2] x+y+z=0 のとき
条件式
y+z=-x
よって k=y+z=-x=-1
x
x
例えば, x=3, y=-1
→xy、2が0以外2=-2 など,xyz≠0
の時に成立つというかつ x+y+z=0を満
2.1 逆にこれかがたす実数x, y, zの組は
り立たなかったら存在する。
I.
[1], [2] から, 求める式の値は
INFORMATION
はの時でしか成り立たな
循環形の式について
なってしまうから。
①~③の左辺は,x,y,zの循環形(x→y→z→x とおくと次の式が得られる) に
なっている。 循環形の式は、上の解答のように, 辺々を加えたり引いたりするとうま
くいくことが多い。 一般には, 連立方程式を解く要領で文字を減らすのが原則である。
