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4 [2014 中央大]
(1) n を正の整数とする。 (1+α)” を二項定理を用いて展開せよ。
(2) 2110400で割ったときの余りを求めよ。
(3) 19" +21” が 400で割り切れるような正の整数nが存在するか。 存在するならば,そ
の例を示せ。 存在しなければ,それを証明せよ。
解答
(1) α±0 のとき
(1+α)"="Co.1"α°+C1・1”-1α'+. +nCn-1•1¹•a-¹ +nCn. 1º. an
=nCo+nCi4+
この式は α=0 でも成り立つ。
(2) (1) の式でa=20, n=10とすると
2110=10Co+10C120+ 10C 2 ・202 +
=400(10C2+
10 C₂ +
(3) 19"=(20-1)"
+10C10-20°) + 201
2 letuls 20' + @o Cy-20² + ...
16-01TEV 1 tio C₁-208
+ 10 C10-20°は整数であるから 2110を400で割ったときの余りは 201
2式の辺々を加えると
19"+21”
+nCn_1a"-1+nCran
n
+10C10 ・2010
n(220m2
= Co.20"-" Cx 20″-1+......+nCｶー120(-1)"-1+nCz(-1)*
21"=(20+1)"
n-(n-1)
= Co-20"+nC₁-20¹++₂ Cn-1·20+nCn ₂-/h
*nly2013
72
S
1,4n²3
n(320"
hla
=2 Co.20 +2 C2-20-2+..+{(-1)*2+1}" Ca_2202
+{(−1)"-1+1}zCn_120+{(-1)"+1}n Ch
=400[2.Co-20-2+20,C2-20" + +{(-1)"-2 +1}"C"_2]
+20m{(-1)^-1+1)+(-1)" +1
[ ]内は整数であるから, 19 +21” と 20n{(-1)"-1+1}+(-1)+1を400で割った
余りは等しい。
[1] n が奇数のとき
(-1)^-1=1, (−1)=-1より 20m{(-1)"-1+1}+(-1)" +1=40n
nは奇数なので40㎖は400で割り切れない。
[2] が偶数のとき
(−1)=-1, (-1)=1より 20m{(-1)"-1+1}+(-1)"+1=2
2は400で割り切れない。
[1], [2] より, 19" +21” が400で割り切れるような正の整数nは存在しない。
