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α を定数とするとき, 次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ。 ただし, (2) ではlimx2e-x = 0 を用いてもよい。
(1) x3-ax-a=0
(2) x2-3=aex
→00
(1) 方程式を変形すると
x3=a(x+1)
この方程式はx=-1 を解にもたないから, 次の方程式と同値である。
X3
=a
x+1
よって, 求める実数解の個数は, 関数 y=
x3
x+1
……① のグラフと直線 y=αの共有点の個数に等しい。
①について
3x2(x+1)-x3.1
x2(2x+3)
y' =
(x+1)2
(x+1)2
3
y'=0 とすると
x = 0,
x
3
2
...
-1
0
...
y'
-
0
+
+
0
+
27
y
10
4
limy=∞, limy = ∞
また
→00
lim y=-8,
x→1+0
8
lim_y = ∞
−1−0'
よって, ①のグラフは図のようになる。
直線 y=α との共有点の個数を調べると, 求める実数解の個数は
<24のとき1個
a<
27
a=
のとき2個,
27
<aのとき3個
y=a
32
y24
x
