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重要 例題159 2次同次式の最大最小
実数x, yがx°+y°=1 を満たすとき,3x°+2xy+yの最大値はアロ
よ。
最小値
関西大
は口である。
基本 158
1文字を消去,実数解条件を利用する方針ではうまくいかない。そこで, 条件式
+y=1は、原点を中心とする半径1の円を表すことに着目する。
一点(x, y) は単位円上にあるから, 3cos0, =sin0 とおける(検討 参照)。
これを3x°+2xy+y°に代入すると、 sin0, cos@の2次の同次式 となる。 よって, 後は
前ページの基本例題 158 と同様に, 0 29に直して合成 の方針で進める。
159
うまく
だけの
角関
解 答
+y?=1であるから, x=cosθ, y=sin0 (0s0<2x) とおく
ことができる。
P=3x°+2xy+y° とすると
P=3cos°0+2cos0sin0+sin°0
条件式がx°+y"=r? の形
のときの最大最小問題で
は,左のようにおくと, 比
較的らくに解答できること
もあるので、試してみると
よい。
4章
27
1+cos 20
=3.
1-cos 20
2
+sin20+
2
イ三角関数の合成。
=sin20+cos 20+2=/2sin(20+)+2
050<2rのとき,号520+号く行+号であるから
-15sin(20+号)=1
-<4ェ+-であるから
4
4
-(2 +2</2sin(20+)+2<V2+2
4
ゆえに
よって, Pの最大値は ア2+/2, 最小値は イ2-V2 である。
チ-号,号
5
-π
4
参 Pが最大となるのは, sin(20+-)=1の場合であり, このとき 20+
元である。これから, 半角の公式と 0+πの公式を用いて, 最大値を
8'8
T
9
すなわち 0=-
与えるx, yの値が求められる(下の練習 159参照)。
では
検討 円の媒介変数表示
般に,原点を中心とする半径rの円x+y°=r上の点をP(x, y) と
し,動径OP の表す角を0とすると
rsin0、 r
P(x, y)
石
0
|rx
x=rcos0,
y=rsin0
rcos0
これを円の 媒介変数表示 という(数学IⅢの内容)。
平面上の点 P(x, y) が単位円周上を動くとき, 15x°+10xy-9yの最大値と, 最
159 大値を与える点Pの座標を求めよ。
[学習院大)
よ。
p.254 EX103
三角関数の合成
