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基本 例題 45 和事象・余事象の確率
00000
あるパーティーに, A, B, C, D の4人が1個ずつプレゼントを持って集まった。
これらのプレゼントを一度集めてから無作為に分配することにする。
(1) AまたはBが自分のプレゼントを受け取る確率を求めよ。
(2) 自分が持ってきたプレゼントを受け取る人数がん人である確率を P(k) と
する。P(0),P(1) P(2) P(3), P (4) をそれぞれ求めよ。
基本 43, 44
指針 (1) A,B が自分のプレゼントを受け取るという事象をそれぞれ A,Bとして
和事象の確率 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
を利用する。
(2) P(0) が一番求めにくいので、 まず, P (1) P(4) を求める。 そして、最後にP(0)
を P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)=1 (確率の総和は1) を利用して求める。
4個のプレゼントを1列
(1) プレゼントの受け取り方の総数は
4! 通り
解答
A, B が自分のプレゼントを受け取るという事象をそれ
ぞれA, B とすると, 求める確率は
に並べて, Aから順に受
け取ると考える。
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
3!3! 2! 6 6 2 5
= +
= +
=
4! 4! 4! 24 24 24 12
"
(2) P(4),P(3),P(2), P(1), P(0) の順に求める。
[1] k=4 のとき,全員が自分のプレゼントを受け取る
から1通り。 よって P(4)=
11
=
4! 24
P(3)=0
[2] k=3となることは起こらないから
[3] k=2のとき, 例えばAとBが自分のプレゼント
を受け取るとすると, C, D はそれぞれD, Cのプレ
ゼントを受け取ることになるから1通り。
Aの場合の数は, 並び
□□□の3つの口
に, B, C, D のプレゼン
トを並べる方法で3! 通り。
3人が自分のプレゼント
を受け取るなら, 残り1
人も必ず自分のプレゼン
トを受け取る。
よって
P(2)=
42×1_1_
4!
=
4
自分のプレゼントを受け
取る2人の選び方は 4C2
通り。
[4] k=1のとき, 例えばA が自分のプレゼントを受け
取るとすると, B, C, D はそれぞれ順にC, D, Bま
たは D,B,Cのプレゼントを受け取る2通りがある検討
から
P(1)=
=x2=1/3
4!
[1]~[4] から P(0)=1-{P(1)+P(2)+P(3)+P(4)}
=1-(1/3+1/+12/31)=1/28
4 24
k=0のときは, 4人の
完全順列 (p.354) の数で
あるから 9通り
よってP(0)=11=121217
9 3
4! 8
