重要 例題 190 関数のグラフの概形 (4) 媒介変数表示
曲線
x=cos o
y=sin20
指針 基本は 0の消去。 y2=sin 20=4sin²0cos20=4(1-cos²d) cos'日から,y'=4x2(1-x2)
となり,前ページのようにして概形をかくことができる。
しかし、媒介変数が簡単に消去できないときもあるので,ここでは,
媒介変数の変化に伴うx, y それぞれの増減を調べ,
点 (x,y) の動きを追う
方針で考えてみる。 まず, 曲線の対称性を調べる。
解答
cos O, sin 20 の周期はそれぞれ2π, πである。
x=f(0), y=g(0) とすると, f(-8)=f(0),g(-8)=-g(0)
であるから, 曲線はx軸に関して対称である。
したがって,
① の範囲で考える。
① の範囲でf'(0) = 0 を満たす 0 の値は
0
ƒ'(0)
x
f'(0) = - sine, g'(0) = 2cos20
g'(0)
y
(グラフ)
0
0
1
(−T≦O≦π) の概形をかけ (凹凸は調べなくてよい)。
_g' (0) = 0 を満たす 0の値は
4'4
① の範囲における0の値の変化に対応した x,yの値の変化は, 次の表のようになる。
YA
1
:
T
x
←
+ +
1
√2
0
↑ 1
y
グラフ
π
4
↑
:
↓
π
2
0
↓ ↑
-
:
← t
T
......
0=0, π
0=
1
√2
0
↓ 0 ↓ -1
←
π 3
π
(*)
I
π
T
←
+
←
π
よって, 対称性を考えると, 曲線の概形は、 右の図。
注意 1. 表の←はxの値が減少することを表す。 また ↑ ↓
はそれぞれyの値が増加, 減少することを表す。
意 2. グラフの形状を示す矢印, , , は x,yの増減
に応じて、下の表のようになる。
0
-1
+
基本 187,188
0
(*) 0=α に対応した点を
(x,y) とすると,0=-α
に対応した点は(x,y)
よって, 曲線はx軸に関し
て対称である。ゆえに,
0≦OSTに対応した部分と
00に対応した部分
は,x軸に関して対称。
√2
8=R
0
21
8=
T!
1 A=1
v2
100
-1
1
