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図形と期待値
重要 例題 63
ら無作為に選んだ異なる2つの頂点と,頂点0で三角形 T を作るとき, T
1辺の長さが1の正六角形OABCDE がある。 5つの頂点A, B, C, D, E か
周の長さの期待値を求めよ。
CHART & SOLUTION
三角形のパターンを考える
三角形の頂点Oが固定されているから, Tと正六角形が,辺を何本共有するかで分類する。
パターンに分けた三角形のそれぞれの周の長さと, 個数を考える。
0が固定されているから、残りの2つの頂点は5つの頂点A,三角形のパターンは,次の
B, C, D, E から2つの頂点を選べば,1つ三角形ができる。 3通り
よって, 三角形の総数は
A=2
√
5C2=10 (個)
[[1] ②
1
[1] Tが正六角形と2辺を共有するとき
T は頂角が120° の二等辺三角形で, 全部で3個できる。
このとき, 周の長さは
[2] Tが正六角形と1辺を共有するとき
Tは斜辺の長さが2, 直角を挟む1辺の長さが1の直角三
角形で,全部で6個できる。
1+1+√3=2+√3
このとき, 周の長さは
[3] Tが正六角形と辺を共有しないとき
Tは1辺の長さが3の正三角形で, 1個できる。
このとき, 周の長さは 3√3
1+2+√3=3+√3
周の長さ 2+√3 3+√3 3√3計
3
1
確率
1
10
10
(2+√3) X-
6
10
したがって, 三角形の周の長さの期待値は
3
6
10 +(3+√3) x 1 +3√3×
10
10
12+6√3
530
[2]
A
B
11,1
A
B
A
30°
2
B
060°
[3] 30° 0
七
0
060
0
基本 58
1300
30°
√3
32
E
D
E
D
E
D
P RACTICE 63 4
表に 1, 裏に2と書いてあるコインを2回投げて、 1回目に出た数をxとし､2回目に
出た数をyとして, 座標平面上の点 (x,y) を決める。 ここで､ 表と裏の出る確率はと
もに
とする。この試行を独立に2回繰り返して決まる2点と点(0, 0) とで定まる
図形 (三角形または線分) について
(1) 図形が線分になる確率を求めよ。
(2) 図形の面積の期待値を求めよ。 ただし,線分の面積は0 とする。
[ 東京学芸大]
