1 接線の方程式
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題 179 平均値の定理の利用2
e*-esi
極限値 lim-
を求めよ。
(a
あCの宝お要 づ中のボ仕お回
エ→0 x-sinr
おとする
f(6)- f(a)_
え方 平均値の定理
を利用できないかを考える。le) J口 のT 変宅
ここでは、f(x)=e*, a=sinx, b=x とおくと,f(a)=esinx, f(b)=e*
e*-esinxf(b)-f(a)
x-sinx b-2 となる。
つまり,与えられた式は④の形になる。
このように平均値の定理を利用するには,f(x) をどのような関数とおくか, a, bをど
のような値とするかを考えるとよい。
= f'(c), a<c<b
b-a
となり、
(6)=()t
f(x)=e* とおくと,
f(x) は実数全体で連続で,微分可能である。 の
y4 y=x
大キ0 として,平均値の定理を用いると,
sin
ex-e
したがxーsinxf(c)
sinx
10
x
x
を満たすcが、x>0 のとき, sinx<c<xに、 お ニSint,
x<0 のとき,x<c<sinx に存在する。
f(x)=e* より,Sc)=e° Tcは必とS02-のに
ア
したがって、
x→0のとき, sinx→0
しい
少なくともてつな芸する)
sinx
sinx<c<x
-=e°
x-sinx
あ 0( )!
0 00
また, x→0 のとき,
sinx→0
い -(+ x<c<sinx
ちまり,
よって,
上の
ex-esinx ラグランジ
lim
x→0 X-sinx
000
111
-=lime'=e°=1 となるため, x>0 と
c→0
これより、一般化したもの
x<0 をまとめて考えてい
by)る.
Focus
平均値の定理の利用 (x)\さ あT 0s)-4+
関数f(x) をどうおくか, a, bをどのような値にするか考える
0とく0 のときでxと sinxの大小関係が変わっているが、
