（3）なぜRよりQの方が小さいとわかるのですか？

1 UB 1 <a<b とし, P=logba, Q=log (logba), R= (loga)を考 える.このとき,次の問いに答えよ. (1) Pのとりうる値の範囲を求めよ. (2) Q, RをPで表せ. (3) P,Q,R を小さい順に並べよ。 精講 (1) 1<a<6 に対数記号 10g をつければPがでてきます。 (3) (1) Pのとりうる値の範囲がわかっているので, (2) を利用すれ QRのとりうる値の範囲がわかります。 74のポイントの応用です。 解答 (1)6>1だから, 1 <a< 6 より log110ga <logb よって, 0P<1 底がの対数をとる (2) Q=log&P, R=P2 (3) 0 <P<1 だから, P'<P ∴.0<R<P ・① 040001 <1201 (1) 01 pianolol 次に, 0 <P<1, 1 <6 だから, logP<0 018 Q=log,P Q<0 ... ② グラフから ①,②より, 小さい順に並べると 1 P Q,R, P >08 (S) Fol ポイント 対数の大小比較は, 演習問題 79 底をそろえて真数の大小比較をするが, そのとき, 底が1より大きいか小さいかに注意する 3 -10gs 2 20.3×30 2,1を小さい順に並べよ . 2 第5章

⑴なのですがaの範囲を求めに行く過程で模範解答とは違って判別式を使ってときました。答えは合っているのですが考え方として合っているのか心配です。判別式で解いても問題ないのでしょうか。またこの答え方で減点なく丸が貰えますか。この二つ、よろしくお願いします。

演習 例題 131 2つの2次関数の大小関係 (1) 00000 2つの2次関数f(x)=x2+2ax+25,g(x)=-x2+4ax-25 がある。 次の条件が 成り立つような定数αの値の範囲を求めよ。 (1) すべての実数xに対してf(x)>g(x) が成り立つ。 (2)ある実数xに対してf(x) <g(x) が成り立つ。 基本115 f(x うな ((1) 指 指針 y=f(x), y=g(x) それぞれのグラフを考 えるのではなく,F(x)=f(x)-g(x) とし, f(x), g(x) の条件をF(x) の条件におき 換えて考える。 (1) y=f(x) y=F(x) (1) すべての実数xに対してf(x)>g(x) すべての実数xに対してF(x)>0 y=g(x)/ + (2) (2)ある実数xに対してf(x)<g(x) y=f(x) y=F(x) ⇔ある実数xに対してF(x) <0 大 このようにおき換えて, F(x) の最小値を 考えることでαの値の範囲を求める。 小 y=g(x) O [補足] 例題 115 で学んだように, 判別式D の符号に着目してもよい。 F(x)=f(x)-g(x) とすると 解答 F(x)=2x2ax+50=2(x-2) - 10/27 +5 - 0²- 50 (1) すべての実数xに対してf(x)>g(x)が成り立つことは, すべての実数xに対してF(x)>0, すなわち [F(x) の最小値] > 0 が成り立つことと同じである。 F(x)はx=1/2で最小値 a² 2 +50 をとるから a² - +50> 0 よって1012+5 - よって (a+10)(a-10)<0 ゆえに -10<a<10 (2)ある実数xに対してf(x) <g(x) が成り立つことは, ある実数xに対してF(x) < 0, すなわち [F(x)の最小値] <0 が成り立つことと同じである。 a² +50<0 晶検討 「ある xについて が成り立つ」と は よって a<-10, 10<a ゆえに (a+10)(a-10)>0 を満たす が少なくとも1つ あるということ である。 ④ 131 つような定数kの値の範囲を求めよ。 練習 2つの2次関数f(x)=x2+2kx+2, g(x)=3x2+4x+3がある。 次の条件が成り立 (1) すべての実数xに対してf(x) <g(x)が成り立つ。 (2)ある実数xに対してf(x)>g(x)が成り立つ。

二次方程式の質問です 解の一つである1と-1の時を考えるのはなぜですか？解説を読んでもよくわかりません

214 重要 例題 130 2次方程式の解と数の大小 (3) 00000 *Fix€x²+{2_a}x+4=2a=0&t=1 <x<10>}{}\ 解答 をもつような定数αの値の範囲を求めよ。 128, 1 指針 条件が 「-1<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ」であることに注意。 大きく分けて次のA B の2つの場合がある。 A-1<x<1の範囲に,2つの解をもつ (重解は2つと考える) ® -1 <x<1の範囲に、ただ1つの解をもつ 方程式の2つの解をα, β (α≦β) として,それぞれの場合につ いて条件を満たすグラフをかくと図のようになる。 ®は以下の4つの場合がありうるので注意する。 ® [2] + a 1 B x または a -1<x<1 の範囲に1つ, <-1 または 1<x の範囲に1つ x= 2 である。 + 81 x ® [3] A [1] + 1<x<1 の範囲に2つ ® [4] a=―1 + + 1 x x=-1と1<x<1 の範囲に1つ -1 a B=1 x=1と1<x<1 の範囲に1つ 2-a x=- 2-1 204 a3 ①~④の共通範囲を求 21 解の1つが1<x (-a+3)(- または1<xにあるため ゆえに よって (a-3)(3a [3] 解の1つがx= (-1)=0から このとき、方程式は よって (x+1)(x ゆえに,解はx=- [4] 解の1つがx=1 f(1)=0 から このとき、方程式 よって (x-1) ゆえに、解はx=- 求めるαの値の範囲 2≦a< f(x)=x2+(2-a)x+4-2a とし, 2次方程式 f(x) =0 の 判別式をDとする。 y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で,その軸は直線 a-2 [1]2つの解がともに-1<x<1の範囲にあるための条 件は,y=f(x) のグラフがx軸の1<x<1の部分と異 なる2点で交わる, または接することである。 すなわち,次の (i)~ (iv) が同時に成り立つことである。 (i) D≧ 0 (ii) 軸が-1<x<1の範囲にある (iii) f(-1)>0 (iv) f (1) > 0 (i) D=(2-α)-4・1・(4−2a) =a+4a-12=(a+6)(a-2) D≧0 から (a+6)(a-2)≥0 ゆえに am-6,2≦a ...... ① (x=472 について -1<> 2 <1 よって ゆえに -2<a-2<2 0<a<4 ...... ② (i) f(-1)=-a+3であるから よって a <3 条件は 「少なくとも1つ」 であるから,y=f(x 定数分離による解法 この問題は、方程式 もう)、2つのグラフが ONE Bx²+(2-a)x 方程式(*)が一 y=x^2+2x+4.. が1<x<1の と同じである 2点(2, ②が点(-1, ②がと グラフがx軸に接する 場合,すなわち, D= の場合も含まれる。 [1] -a+3>0 8-1 軸 ID=0 ついて D=0 図からa>0, la=2のとき よって、① は、グラフカ 130 つような定 方程式

二次方程式の質問です チャートの解説とは違う組み合わせで解いたんですけど答えが合わないです この解き方がダメな理由を教えてください

212 1. 基本 例 129 2次方程式の解と数の大小 (2) 00000 | 2次方程式 ax-(a+1)x-a-3=0が,-1<x<0, 1 <x<2の範囲にそれぞれ 1つの実数解をもつように、定数αの値の範囲を定めよ。 指針 f(x) =ax²-(a+1)x-a-3 (α0) として p.207 基本事項2 重要 13 [a<0] [a>0] y=f(x) グラフをイメージすると, 問題の条件を満 たすには y=f(x) のグラフが右の図のよ うになればよい。 + 0 1 すなわち f(-1) f (0) 異符号 L 2x O [f(-1)(0)01 かつ f(1) f (2) が異符号 [f(1)f(2) <0] である。 αの連立不等式 を解く。 T TO 0 ly=f(x) 2次方程式 128 129のように、2枚 豚の存在明の問題 このの存在範囲の問題につい 方式の実数解を 方程式(x)=0がわくと gの範囲に共有 + CHART 解の存在範囲 f(b)f(g) <0ならとの間に解(交点) あり f(x)=ax²-(a+1)x-a-3とする。 ただし α≠0 f(-1)f(0) <0から 2次方程式であるから、 (x2 の係数) ≠0 に注意 注意 指針のグラフから かるように,a>0 の問題は、題 126, 一方程 方程式(x) の範囲に実 ●グラフが指定され 2次関数のグラフ [1] 判別式 D この3つの条件に 放物線y=f であるとき, 件となる。 題意を満たすための条件は,放物線y=f(x) が-1<x<0, 解答 1 <x<2の範囲でそれぞれx軸と1点で交わることである。 すなわち f(-1)(0) <0 かつ f(1)(2)<0 ここで f(-1)=a(-1)-(a+1) (−1)-a-3=a-2, が下に凸),a< 0 (グラ f(0)=-a-3, f(1)=α・12-(a+1) ・1-a-3=-a-4, が上に凸) いずれの場合 f(-1)f(0) <0かつ [1]判別 f(2)=α・22-(a+1)・2-a-3=a-5 (a-2)(-a-3)<0 ゆえに (a+3)(a-2)>0 よって a<-3, 2<a また,f(1)(2)< 0 から ...... ① ゆえに (-a-4)(a-5)<0 (a+4)(a-5)>0 よって a<-4,5<a ...... ① ② の共通範囲を求めて a<-4,5<a これは α=0を満たす。 f(1)f(2)<0 が、題意を満たす条件で る。 よって, α>0のとき α < 0 のとき などと場合 けをして進める必要はな を意味す ●グラ 上の p する [2] 軸の [3] [1] [2] -4-3 2 5

127番の問題がわからないです！ ただ一つの解を持つ時に3と4に別れるのはyの値の積が0になる時を考えてるのかなと思ったのですが、なぜ126番の問題だとそれを考えなくても良いのかが全くわからないです 誰か教えて欲しいです！すみませんがよろしくお願いします🙇‍♂️

196 基本 例題 126 2次方程式の解と数の大小 (2) 00000 2次方程式 ax²-(a+1)x-a-3=0が, -1<x<0, 1 <x<2の範囲でそれぞれ つの実数解をもつように,定数 αの値の範囲を定めよ。 重要 12 p.191 基本事項 指針 f(x) =ax²-(a+1)x-a-3 (α≠0) としてグラ [a>0] フをイメージすると, 問題の条件を満たすには y=f(x) のグラフが右の図のようになればよい。 すなわち f(-1) f (0) 異符号 la<0 y=f(x) e 0 1 + 0 2x [f(-1)(0) <0] y=f(x) かつ f(1) f (2) が異符号 [f(1)(2)<0] である。 αの連立不等式を解く。 CHART 解の存在範囲 f(p)f(g) <0ならpgの間に解 (交点)あり 解答 f(x)=ax2-(a+1)x-a-3とする。 ただし, a≠0 題意を満たすための条件は, 放物線y=f(x) が-1 <x<0, 1 <x<2の範囲でそれぞれx軸と1点で交わることである。 すなわち ここで f(-1)f(0)<0 f(1)f(2)<0 f(-1)=α(−1)-(a+1) (−1)-a-3=a-2, f(0)=-a-3, f(1)=α12-(a+1) ・1-a-3=-a-4, f(2)=α・22-(a+1) ・2-a-3=a-5 f(-1)f(0) <0から ゆえに よって (a-2)(-a-3)<0 (a+3)(a-2)>0 また,f(1)(2)< 0 から a<-3, 2<a ...... ① 2次方程式であるから、 (x2の係数) 0 に注意 注意指針のグラフからむ るように,a>0 グラフ に凸), a<0(グラブ 凸) いずれの場合も F(-1)/(0) <0 f(1)(2)< が、題意を満たす条件で よって、a>0のとき のときなどと場合分け て進める必要はない。 ゆえに よって (-a-4)(a-5)<0 (a+4)(a-5)>0 a<-4, 5<a... ① ② の共通範囲を求めて a<-4,5<a これはα=0を満たす。 -4-3 2 5

1番について質問です 私はD＜0として計算したのですが，どの考え方が違うのか教えてください。

演習 例 131 2つの2次関数の大小関係 (1) 000 2つの2次関数f(x)=x2+2ax+25,g(x)=-x2+4ax-25がある。次の剣 成り立つような定数αの値の範囲を求めよ。 (1) すべての実数xに対してf(x)>g(x)が成り立つ。 (2)ある実数xに対してf(x) <g(x)が成り立つ。 【指針 y=f(x), y=g(x) それぞれのグラフを考 えるのではなく, F(x)=f(x)-g(x)とし、 f(x),g(x)の条件をF(x)の条件におき 換えて考える。 (1) y=f(x) y=g(x)/ -> =F( 0 f(x う (1) (2) ly=f(x) y=F(x) A (1) すべての実数xに対してf(x)>g(x) すべての実数xに対してF(x)>0 (2) (2) ある実数xに対してf(x)<g(x) 大 ある実数xに対してF(x) < 0 このようにおき換えて, F (x) の最小値を 考えることでαの値の範囲を求める。 y=g(x) [補足] 例題 115で学んだように, 判別式D の符号に着目してもよい。 F(x)=f(x)-g(x) とすると 解答 ある 0=2(x-2)²²+50 1 F(x)=2x2-2ax+50=2x- (1) すべての実数xに対してf(x)>g(x)が成り立つことは, すべての実数xに対してF(x)>0, すなわち [F(x) の最小値]>0 が成り立つことと同じである。 F(x)はx=1で最小値 - 04 +50 をとるから よって - (a+10)(a-10) < 0 ゆえに 2 +50 > 0 検討 -10<a<10 (2)ある実数xに対してf(x) <g(x)が成り立つことは, ある実数xに対してF(x) < 0, すなわち [F(x) の最小値] <0 が成り立つことと同じである。 a² 「あるxにつ ゆえに (a+10)(a-10)>0 が成り立つ は が少なくと あるとい よって +50<0 2 よって a<-10,10<a 習 2つの2次関数f(x)=x2+26+? である。

指数の大小を調べた所までは分かりました なぜ最終的な答えでは 大小の順番が逆なのですか

(2) 指数の大小を調べると 底 1-3 -2</1/32 は1より小さいから 号は 2 (1/8) <(1/2)+(1/3) 3 -2

[1]はなぜ判別式だけではだめで[2]はなぜ判別式がいらないのですか？

重要 例 148 三角方程式の解の存在条件 La の値の eの方程式 sin'0+acos0-2a-1=0を満たすりがあるような定数。 囲を求めよ。 基本14 → cosa=x とおくと, -1≦x≦1, 与式は 指針 まず, 1種類の三角関数で表す (1-x2)+ax-2a-1=0 すなわち x2-ax+2a=0 よって、求める条件は, 2次方程式 ①が-1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をも つことと同じである。 次の CHART に従って, 考えてみよう。 2次方程式の解と数の大小 グラフ利用 D, 軸, f(k) に着目 cos0=xとおくと, -1≦xであり, 方程式は (1-x2)+ax-2a-1=0 すなわち x-ax+2a=0... ① この左辺をf(x) とすると, 求める条件は方程式f(x) = 0 が-1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をもつことで ある。 晶検討 x2ax+2a=0をにつ いて整理すると nia-S+0=0$ x²=a(x-2) よって、放物線y=xと 直線 y=α(x-2)の共有 点のx座標が -1≦x≦1の範囲にある を考えてもよい。 解 これは,放物線y=f(x) とx軸の共有点について,次の [1] または [2] または [3] が成り立つことと同じである。 [1] 放物線y=f(x) が -1<x<1の範囲で, x軸と異な る2点で交わる,または接する。 このための条件は,①の判別式をDとするとD≧O a(a-8)≥0 D=(-a)2-4・2a=a(a-8) であるから 答編 p.147 を参照。 [1]) YA a 答 1) (2 解答 よって a≦0,8≦a ...... ② 軸x=1/3について -1</1/8 <1から -2<a<2… ③ 0 10 -1 1 I f(-1)=1+3a>0から a>. 3 [2] f(1)=1+α>0 から a>-1 ⑤ YA ②~⑤の共通範囲を求めて <a≦o [2] 放物線y=f(x) が-1<x<1の範囲で, x軸とただ 1点で交わり,他の1点はx<-1, 1 <xの範囲にある。 このための条件は f(-1)f(1)<0 ゆえに (3a+1)(a+1) < 0 よって -1<a< 3 [3] 放物線y=f(x) がx軸と x = -1 またはx=1で交わ る。 f(-1)=0 または f(1) = 0 から a=- [1], [2], [3] を合わせて -1≤a≤0 1/23 または α=-1 【参考[2] と [3] をまとめて,f(-1)f(1)≦0 としてもよい。 練習 0 の方程式 2cos20+2ksil 148 -1 0 F A 1 -1 00

（3）の対数の大小比較をする問題です。なぜこの問題では最後で大小が逆になっているのでしょうか。解説していただけると嬉しいです。よろしくお願いします

練習 次の各組の数の大小を不等号を用いて表せ。 ② 181 (1) log2 3 log25 (2) logo.33, logo.35 (3) logo 54, log24, log:4 log23 <log25 (1) 底2は1より大きく, 3<5 であるから (2)0.3は1より小さく, 3<5であるから logo.33>logo.35 >1のとき 0<p<a ⇒loga <logaq 0<a<1のとき 1 1 1 (3)10g0.54= log24= log34= log40.5' 10g42' log43 底4は1より大きく log40.5 < 0,0 <log42<log43 よって logo.s4 <log:4 <log24 練習 次の方程式を解け。 0100 0<p<q ⇔logaplogaq r-x-18)-10g2(x-1)=3

答えが合わないです😿 （3）の解き方教えて欲しいです

(31. tog torques23. 74-√64 log 435 log & 9 5 3 15: 4√4 10 2 log9.9 log4 454 5 loge 16 底しくとより15kon99<log92.