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第4章 微分法の応用
19 関数の最大と最小
最大 最小
64 次の関数の最大値、最小値を求めよ。
y=sin 2x+2sinx (0 ≤x≤x)
(2) y=x√2-x²
ポイント 関数の最大 最小 定義域の範囲で増減表を作る。 極値と区間
の両端における関数の値を比較する。
(2) 定義域は2x20 を解いて -
26
サクシード数学Ⅲ
との正の部分とある
(m<0
直線の方程式は
66 直線の傾きを とすると, 条件から
y-8=m(x-1)
すなわち y=mx-m+8
...... ①
① で y=0 とすると
0=mx-m+8
A
8
よって
x=-
m-8
m
① で x=0 とすると
y=-m+8
ゆえに, P, Qの座標は
O
1
P
P(m-8,0), Q(0, m+8)
よって
PQ2(m-8)2
+(-m+8)^=
(m-8)2(m2+1)
ma
m²
第1象限にあるお
通り、座標軸の
と交わる
ゆえに
S
m²
m
(
2(m-8)(m3+8)
m
f(m) の計算がらく
x>0にお
なる。
よって,
S>0で
も最小
したが
なるように,f(m) 68
する。
y'
y
y"=
x<
65 関数y=a(x-sin2x)
≦xi
最大・最小
の最大値がである
と
決定
ように、定数αの値を定めよ。
☆☆☆
ポイント2 最大値をαで表し, = とする。 y'=α(1-2cos2x) であるか
ら,a=0,a>0, a<0 で場合を分けて考える。
最大 最小 66点A(1,8)を通る直線が,x軸,y軸の正の部分と交わる点
P,Q とする。 線分 PQ の長さが最小となるときの直線の傾
の文章題
きを求めよ。
ポイント③ 文章題(最大、最小)の解法
変数を適当に選び, 求める量を関数として表す。 定義域に注意
して、その関数の最大値、最小値を求める。
PQ2=f(m) とおくと f(m) = (m-8)21+
-8)(1+)+
+(m-8)2/
f'(m)=2(m-8)(1+
m
2(m-8){m(m²+1)-(m-8))
m
2m-8)(m+2)(m2-2m+4)T-
m 正
<0 における f(m) の増減表は右のよ
うになる。
m
-2
0
よって, f(m) すなわち PQ2はm=-2
のとき最小になる。
f'(m)
-
0 +
f(m)
125 A
PQ> 0 であるから, PQ2 が最小となる
とき, PQ も最小となる。
したがって, 求める直線の傾きは 2
67 直円錐の底面の円の半径をx, 母線
の長さをy (x>0, y>0) とする。
☆☆☆
最大・最小 67 体積が2
の文章題
である直円錐の形をした容器を作る。 側面積
体積が2
であるから
を最小にするには、底面の円の半径をどのようにすればよいか。
ポイント上の3と同じ。 側面を展開すると扇形になる。
√2
って
x²√y²-x²=√2
...... ①
重要事項
◆関数f(x) (a≦x≦b) の最大、最小
f(x)の極値と区間の両端の値(a)(b)との大小を調べて、決定する。 増減表を
利用する。
f(x)に不連続なxの値があれば、その付近のf(x) の値に注意する。
①から y=x2+2/24
側面を展開してできる扇形について、
半径はy, 弧の長さは2mxであるから,
側面積をSとすると
2xx
S-123-2xx=exy
←m² -2m+4
=(-1)+3> 0
1<
まゆ
69
← 半径が、 弧の長さ
の扇形の面積は
と
①の両辺を2乗す
=2
