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重要 例 224 区間に文字を含む3次関数の最大・最小
f(x)=x-6x+9x とする｡ 区間 a≦x≦a+1におけるf(x)の最大値を
求めよ。
「指針 この例題は、区間の幅が1 (一定)で,区間が動くタイプである。
まず, y=f(x)のグラフをかく。次に,区間 a≦x≦a+1をx軸上で左側から移動し
ながら, f(x) の最大値を考える。
場合分けをするときは,次のことに注意する。
A 区間で単調増加なら、 区間の右端で最大。
® 区間で単調減少なら、 区間の左端で最大。
両極値をとるxの値がともに区間に含まれることはないから
© 区間内に極大となるxの値があるとき, 極大となるxで最大。
① 区間内に極小となるxの値があるとき, 区間の両端のうちf(x)の値が大きい方
で最大→区間の両端で値が等しくなる場合が境目となる。すなわち、
により場合分け。
f(a)/(a+1)となると①
Max
①
B
A
最大
f'(x)=3x2-12x+9
=(x-1)(x-3)
f'(x)=0 とすると
k=1, 3
f(x) の増減表は次のようになる。
1
3
2-
[拡大] 小
4.
0
f'(x) +
f(x)
>
+
01
[1] [a+1 <1 すなわち α<0の [1] y
とぎ
4F
f(x)はx=g+1で最大となり
M(a)
=f(a+1)
=(a+1)³-6(a+1)² +9(a+1)
=a²³-3a²+4
よって, y=f(x)のグラフは右上の図のようになる。
ゆえに、f(x)のa≦x≦a+1 における最大値 M (α) は, 次
のようになる。
a M
y=f(x) |
3
-最大
a+1
最大
3
または
| 解答の場合分けの位置のイ
メージ
YA
y=f(x) |
121131
a 01
Ca+1
a 3 a+11
<指針のA [区間で単調増
加で,右端で最大] の場
合。
[21] すなわち
0≦a <1のとき
f(x)はx=1で最大となり
M(a)=f(1)=4
次に, 2 <<3のとき,
(a)=f(a+1) とすると
a³-6a²+9a=a³-3a²+4
3a²-9a+4=0
ゆえに
よって
検討
2-3
2<u <3と5<√33 <6に注意して
9+√33
のとき
[3] 1≦a<-
6
f(x)はx=αで最大となり
Q=
M(a)=f(a)=a³-6a²+9a
[4] 9+√33 αのとき
6
f(x)はx=a+1 で最大となり
以上から
[2]y
M(a)=f(a+1)=a³-3a²+4
-(-9) ± √(-9)²-4·3·4_9±√33
224 よ。
al
最大
[3]y+
6
9+√33
6
[4]ya
最大
0 1. @ 3
a
05 1
9+√33
6
a<0,
0≦a <1のとき M (α) = 4
.9+√33
[1]≦a[k] []
6
3
3次関数のグラフの対称性に関する注意
p.344 の参考事項で述べたように, 3次関数のグ
ラフは点対称な図形であるが, 線対称な図形で
はない。 すなわち, 3次関数がx=pで極値をと
るとき, 3次関数のグラフは直線x=に関して
対称ではないことに注意しよう。
「上の解答のαの値を
a+(a+1)
2
=3から
a+1
a
a+1
指針C [区間内に極大
となるxの値を含み、そ
のxの値で最大] の場合、
最大
aa+1
a+1
―≦a のとき M (a)=α²-3a²+4
指針の区間で単調減
で、左端で最大] また
① [区間内に極小とな
るxの値がある] のうち
区間の左端で最大の場合。
のとき M(α)=α²-6a²+9a
<指針の① [区間内に極小
となるxの値がある ] [の
うち、区間の右端で最大
の場合。 または指針の
[区間で単調増加で、 右
で最大] の場合。
357
3次関数の
グラフ
「対称ではない
放物線
(線)対称
6
a=1 としてはダメ! ]
2
なお, 放物線は軸に関して対称である。 このことと混同しないようにしておこう。
f(x)=x-3x²-9x とする。 区間 t≦x≦t+2におけるf(x)の最小値m(t) を求め
2 最大値・最小値方程式・不等式
