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れる曲
方程式
F(x, y)
といい
が導か
y=√1
(円の上
基本例題 54 2次曲線の平行移動
(1) 楕円 4x2 +25y²=100 をx軸方向に-2,y 軸方向に3だけ平行移動した楕円
の方程式を求めよ。 また, その焦点を求めよ。
(2) 曲線 9x²-4y2-36x-24y-36=0 の概形をかけ。
p.98 基本事項 ① ②2
指針(1) 曲線F(x,y)=0をx軸方向に,y軸方向にだけ平行移動して得られる曲線の方
程式は
F(x-p, y-a)=0
ここでは、与式でxをx- (-2), y をy-3 におき換える。
また、求める焦点は,もとの楕円の焦点をx軸方向に-2,y 軸方向に3だけ平行移動し
たもの。
(2) 2次の項が9x2, -4y2 で, xyの項がないから, 曲線は双曲線と考えられる。
それを確かめるには、x2+px=x+
x + 1² ) ² − ( ² ) ² などの変形を利用し, 平方完成の要領
で、曲線の方程式を(xーカ)(yg)2
=1の形に直す。
A
B
解答
(1) 求める楕円の方程式は
! 4(x+2)²+25(y-3) ²=100
すなわち 4.x2+25y2+16x
-150y+141=01)
また, 与えられた楕円の方程式は
x²
J²
①
=1
9(x2-4x+4)-9・4
-4(y^+6y+9)+4・9=36
(x-2) (y+3) 2
22
3²
楕円 ① の焦点は, √52-22=√21 から
2点(√21,0),(-√21,0)
2)
よって、求める 焦点は2点(√21-2, 3), (-√21-23) 2
(2) 与えられた曲線の方程式を
変形すると
次の方程式で
-2
=1
yA
3
0
yA
5 2
3
H
-20 3
-2 -2 (1
2
よって
この曲線は,双曲線
x²
22 =1をx軸方向に 2,
32
y軸方向に-3だけ平行移動
したもので,その概形は図の赤い実線のようになる。
-6
4
5 x
X
1) 標準形で表された2次曲
線を平行移動した曲線の方程
式には, xyの項は現れない。
2) まずもとの楕円の焦点を
調べ、それを平行移動した点
が求める焦点である。
<5>2から, 焦点はx軸上。
xx 軸方向にp, y 軸方向に
だけ平行移動すると,
点(a,b) は
(a+p, b+q),
曲線F(x,y)=0 は
曲線F(x-py-g) = 0
に移る｡
<中心は点 (0+2, 0-3), す
なわち点 (2,-3), 漸近線は
2直線x=2-213-0.
3
x=2+2+3=0 となる。
99
2章
6 放物線、楕円、双曲線
