解説お願いします。 「場合の数と漸化式」の問題です。 (1)の解説がよく理解できません。 どうして、1つの長方形または正方形を並べると並べ方が何通りか分かるのでしょうか？ 教えてくださると嬉しいです。 よろしくお願いします。

例題 316 場合の数と漸化式 【 2辺の長さが1と2の長方形と1辺の長さが2の正方形の2種類のタイル がある。 n を自然数とし, 縦2, 横nの長方形の部屋をこれらのタイルで 過不足なく敷き詰めるときの並べ方の総数を An で表す。 (1)n≧3のとき, A を A-1, A-2 を用いて表せ。 (2) Annを用いて表せ。 具体的に考える (東京大) 思考プロセス 最初に をおくと An 最初に をおくと2 An-1 -n-2-oils. An-2 ◆ 斜線部分 も を敷き詰める -2-- n-2- 最初に をおくと。 2 An-2 Action n を含んだ場合の数は,最初の試行で場合に分けよ (1) (ア) 左端に長辺を縦にした長方形を並べるとき 残り縦2, 横(n-1) の部分の並べ方は (イ) 左端に長辺を横にした長方形を並べるとき 残り縦2, 横 (n-2) の部分の並べ方は A通り 1 2通り (ウ)左端に正方形を並べるとき 残り縦2,横(-2) の部分の並べ方は2通り --2- -n-2- BU 307 (ア)~(ウ)より An=An-1+2An-2 ① 2 ①を変形すると An+An-1=2(An-1+An-2) 2. n-2-- 特性方程式 An-2An-1=-(An-1-2 An-2) ③ ②より、数列{An+1 + An} は初項 A2+ A1 = 4, 公比2の等比数列であるから An+1+An=4.2"-1 = 2n+1 ④ ③より、数列{An+1-2An} は初項 A2-2A1=1, 公比-1の等比数列であるから ④ ⑤ An+1-2An=1(−1)"-1=(-1)"-1 An == 3An=2+1-(-1)"-18 3 {2n+1-(-1)-1} |x2-x-2=0より x=-1,2 より A1 = 1 080 よりA2 = 3 ⑤

数学についての質問です。 漸化式の問題です a₁=1/5 aₙ+₁=aₙ/4aₙ-1 の一般項を教えてください。求め方もよろしくお願いします🙇

この問題、どうして3の n+1乗で割るのですか？

468 基本 例題 36 amt = ban+g” 型の漸化式 考えてみよう 指針 漸化式 an+1=pan+f(n) において, f(n)=g" の場合の解法の手順は a1=3, an+1=2an+3 +1 によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。 00000 基本 例題 - f(n)= q an = - ②2] = 0, とおくと burl=0+1/ → CHART 漸化式an+1=pan+α” 両辺を g"+1 で割る ①f(n) に n が含まれないようにするため, 漸化式の両辺を Q7+1で割る。 antp.an+1 g+1 = g gg" a1= 15 = 5 指針 an+ 〔信州大] 基本 34 基本 42 45. ar となり,nが含まれない。 ・bn+1=b+の形に帰着。 1 ②2 p. an+1 an+1=2an+3n+1 の両辺を3n+1で割ると 3n+1 23 83 ar +1 3' 解答 an=bm とおくと 3n bn+1 == 12/20m+1 3 (S+ これを変形すると bn+1-3= // (bn-3) 2 3 また b-3=1-3-33-3-2 Q= よって,数列{b,-3} は初項-2,公比 / の等比数列で an+1=pantq など 既習の漸化式に帰着 させる。 特性方程式 a=1+1から ま > 2an 20-1.9 3+1 C 品 指針の方 an+ 解答 ①と |a=3 と 2n-1 bn-3=-2 ゆえに an 3n 2\n-1 3". 3-21 よって an=3"bn=3.3"-3・2・2n-1(*)=3n+1-3.2 別解 an+1=2an+3+1 の両辺を 2n+1で割ると an+1 an 2n+1 (+ =3.3.2. 2-1 3-1 lan+1=pan+gは、 辺を+1で割る an 2n = b とおくと bn+1=bn+ 3n+1 2 また b1= a1 3 = でも解決できるが、 21 2 差数列型の漸化式の よって, n≧2のとき n_1/3 \k+1 k=12 3 n-1 n1/3 \2 3\k-1 k=1 処理になるので,計算 上の解答と比べ や面倒である。 3 = + 2 =31 2 33-1 n=1のとき 3(2/2)-3-2127 b="から,①はn=1のときも成り立つ。 したがって an=2"bn=3.3"-3・2"=3" + 1-3.2" 注意

どうして、底を2にするんですか？？

重要 例題 38 ant = pa," 型の漸化式 | a1=1, an+1=2√an で定められる数列{an} の一般項を求めよ。 00000 【類近畿大 指針 がついている形, an² や an+13 など 累乗の形を含む漸化式 an 解法の手順は an+1=pa ① 漸化式の両辺の対数をとる。 an の係数かに注目して、底がりの対数を考える。 10gpan+1=10gpp+logpang すなわち 10gpan+1=1+glogpan 2 10gpan=bn とおくと bn+1=1+gbn → -logeMN = logM+log.N loge M=kloge M bn+1=bn+▲の形の漸化式 (p.464 基本例題 34 のタイプ)に帰着。 対数をとるときは, (真数)>0 すなわち a">0であることを必ず確認しておく。 CHART 漸化式 αn+1=pan" 両辺の対数をとる α=1>0で,n+1=2√an (>0) であるから,すべての自 解答然数nに対してan>0である。 よって, an+1=2√an の両辺の2を底とする対数をとると 10gzAn+1=10g22√an log2an+1=1+110gzan 2 bn+1=1+1/26n ゆえに 初 10gzan=bn とおくと これを変形して bn+1-2=(bn-2) ここで b1-2=10g21-2=-2 > 0 に注意。 厳密には,数学的帰納 で証明できる。 log₂(2.an) =log22+ log. 特性方程式=1+10 基本 α=2, (1) n (2) ar 指針 解答 よって, 数列 {b,-2} は初項 -2,公比 1/2の等比数列で n-1 b-2=-20 =-2(12) - すなわち bn=2-22- を解くと α=2 12 したがって, 10gzan=2-22 から an=22-22- \n-1 =21- logaan-pan-d 早 検 PLU anan+1 を含む漸化式の解法 実討 anan+1 のような積の形で表された漸化式にも 例えば 両辺の対数をとるが有効である。 LON

なんでan+1がα^2になってanがαになるんですか？

例題 3-1型 an+2 + pan +1 + gan + gan = 0 数列 {an} の一般項を求めよ. a1 = 1, a2= 2, an+2 = an+1 + 6an 講義 an+2 を d2, an+1 を a, an を1に変えた特性方程 式 a2= a +6

この問題なんですが、（１）は理解できたのですが、（２）からがつまずいてしまいます。2,3枚目にのせた似た問題の解説動画のやり方の方が自分にはあっているなと感じたので、そちらの解き方の方で解説していただければ嬉しいです！宜しくお願いいたします🙇

3 漸化式と数学的帰納法 (81) B1 例題 B1.39 分数型の漸化式 (2) **** 3a,+2 α=8, Q+1= a,+2 によって定義される数列{a} がある. a-B (1) bm とおくと. 数列 {b.) が等比数列になるような.α. a-a (α >β) の値を求めよ。 (2) 数列{a} の一般項 α を求めよ. (1) (b.}が等比数列になるのは, bu+i=rb, (公比r)と表されるときである. そのために、 bath を考えて,これを漸化式を利用して am で表してみる。 (2) (1) で導いた {bm} を利用して一般項を求める。 (考え方)] 3a+2 「解答」 (1) byt= an+1-B am+2 -B 3a+2-3 (a+2) 漸化式を用いるた ata 3a+2 3am+2-α (an+2) a めに bm+1 を考える. an+2 2-28 an+ (3-3)a,+2-28 3-8 3-β (3-a)an+2-2a 3-a 2-2a a₁+ 3-a したがって, 数列 {b.} が等比数列になるための条件は, 2-2a 2-28 -α= 3-α' -β= ~ 部分が同じ形に なれば、第一を 3-α 比として {b,} は等 数列になる. 3-8 である. α. βは,-x(3-x)=2-2xの2つの解であり x2-x-2=0 より x=2. -1 α=2,β=-1 3-β_3+1 =4 であるから 3-a 3-2 a+1_8+1_3 a>βより (2) (1)より また, b1= つまり, a+1 3 ・4"-1 a-2 8-2 2 an-2 2 よって, 特性方程式 (p.B14 参照) _3x+2 x+2 より. x2+2x =3x+2 x= bx+1=4bn 3 b 4"-1 (x-2)(x+1)=0 x=2, -1 と同じ解になる。 2(an+1) =3.4" (a-2) より, 6.4"+8 an= 3.4"-8 6.4"'+2 a= 3.4-2 6.4"+8 3.4"-8 α」=2, an+1= 習 39 ** (1) bm= an+B am+α 4a+1 によって定義される数列{an} がある. 2a+3 とおくと, 数列{bm} が等比数列になるような, α. β (a の値を求めよ. (2) 数列 {a} の一般項 am を求めよ. ➡p.B

この問題なんですが、2枚目の途中で書いたところからつまってしまいます。ここからどのように計算すればいいか解説してくださると嬉しいです。宜しくお願いいたします🙇

-72 (90) 第1章 数 列 Think 例題 B1.42 隣接3項間の漸化式(2) a=1, a2=2, an+2-6an+1+9a=0 ...... ① で定義される数列{a} の一般項 am を求めよ. 考え方 (B) 特性方程式の解が α =βキ0 (重解) となる場合 (p. B1-67) このとき、 ①は,

（２）の問題なんですが、3枚目の自分で解いた解答のやり方が解説にのっていないので、3枚目の私の解答はどこから間違っているか教えてくださるとありがたいです。宜しくお願いいたします🙇

B1-68 (86) 第1章 数 列 例 B1.41 隣接3項間の漸化式(1) 考え方 次のように定義される数列{an} の一般項 am を求めよ。 (1) a=1, a2=2, an 2-2an+1-150=0 (2) a1=3, a2=5, an+2-30m+1+2a=0 (A) 特性方程式の解α, β が α β となる場合 (p. B1-67) である. (1) An+2-2+1-150=0.･･･ ① が ax +2aaμ+1=βan+1 aan) .....② たとする. ②より, an+2-(a+β)an++αβam= 0 |a=5 [α = -3 これより, α+β=2, aβ=-15 だから, lβ=5 または \B=-3 よって、②より 解答 とも Jax+2+3am+1=5 (an+1+3a) lan+2-5an+1=-3(an+1-5am) これより,一般項 α を求めればよい. (2)(A) aβにおいて,とくに α=1 となる特別な場合である。 つまり, an+2-3a+1+2a=0 は, an+2-An+1=B(An+1-an) となり, 数列{ant-am} は {an} の階差数列である。 mi (1)と同様に解くこともできるが,ここでは階差数列の 考え方を使って解いてみよう. ~20x150=0 (1) authen より となる. ......① an+2+3an+1=5 (an+1+3an) lan+2-50+1=-3 (a+1-5a) ②より, 数列 {am+1+3am} は, ③ {a} の階 {anta ① より,-2F wwww (x+3)(x-5)= よって, x=-1 α=-3,β=5 α=5,β=-3 {an+1+3a 初項 a2+3a1=2+3・1=5 公比 5 の等比数列であるから, an+1+3a=5・5"'=5" …④ a2+3a」(n=10) ③より, 数列 {an+1-5am} は, 初項 a2-5a=2-5・1=-3 公比3 の等比数列であるから, a,+1-5a= (-3)(-3)"'=(-3)"...... ⑤ ④ ⑤ より 3a-(-5am)=5"-(-3)" 8a=5"-(-3)" ④ ⑤から 去する. よって、 求める一般項 α は, _5"-(-3)" an= 8

まる5〜の計算の仕方を教えてください

⑤ 種々の漸化式 ④から (2) an+1=an+46n ..... an=bn+1-bn ③, bn+1=an+bn よって ⑤ ⑥ を ③ に代入すると an+1=bn+2-bn+1 5 ゆえに bn+2-2bn+1-3bn=0 bn+2-bn+1=(bn+1-bn)+4bn ④とする。 ⑤での代わりに n+1 とおいたもの。 481 ****** ⑦ また,④から b2=a+b=1+1=2 ⑦を変形すると bn+2+bn+1=3(bn+1+bn), よって、数列{bn+1+6}は初項3,公比3の等比数列; 数列{bm+1-36m} は初項-1,公比-1の等比 bn+2—3bn+1=-(bn+1-3bn), b2-3b₁=-1 b2+6=3 隣接3項間の漸化式。 隣接3項間の漸化式 では、第2項も必要。 ⑦の特性方程式 x^2x-3=0の解は, (x+1)(x-3)=0から x=-1,3 1 章 数列。 S ゆえに ⑧ ◄arr-1 bn+1+b=3・3n-1=3n bn+1-36m=-1・(-1)"'=(-1)"...... ⑨ _3-(-1)" 4 (⑧⑨) ÷4から bn= よって、⑤から an = 4 3n+1_(-1)"+1_3"-(-1)" 4 2・3"+2・(-1)"_3"+(-1)" TO |bn+1 を消去 。 13+1=3.3", (-1)"+'=-(-1)"

この問題なんですが、2枚目の動画授業と似ている問題だったので参考に解いていたのですが、一枚目だと2log2anをbnとおいている辺りから進めません！2枚目のやり方の方が自分にはあっているなと感じたのでそっちのやり方で進めたいのですが、一枚目の問題になるとできなくなってしまい... 続きを読む

3 漸化式と数学的帰納法 (77) B1 題 B1.35 漸化式 antipan" たぶん次数相型 a=2, +1=4am で定義される数列{an} の一般項 am を求めよ. **** え方 漸化式がα+1 や ami などの累乗の場合や, に √ がついている場合, 10月のよう な積の場合は,両辺の対数をとるとうまくいくことが多い。 ここでは,a の係数4(=22) に着目して, 底が2である対数を両辺にとると, log2an+1=log2(4a)=log24+logza3 より 210g2a+1=2+310gzan ここで, log2am=b" とおくと, 26+1=36+2となり、例題 B1.32 の形の漸化式となる. a=2>0, an+1=4amより, すべての自然数nに対して an>0 an+12=4am について 底2で両辺の対数をとると, logzan+1=10g24a73 m 210gz4+1=log24+310gzan より oga=b とおくと, 210gza+1=310gza,+2 26+1=36+2 したがって,bn+1= 本来マイナス 3 20m+1 より、これを変形すると 3 に ここで, b1+2=10gza1+2=10g22+2=3 下の注〉 参照 漸化式の形と初値 すべての自然につい amであると分か bn+1+2=2(b+2) ……① 3 ①とb+2=3 より, 数列{b,+2} は,初項 3.公比の 特性方程式 3 α=24+1を解くと α-2 21egant 3/ 等比数列だから,一般項は, bn+2=3 3 3" すなわち, bn b-3-2-3-20 2= -x-2 よっち bn=10gzan=- 3"-2" 2n-1 3"-2" X=-2 より an-2 2-1 Ocus 漸化式 an+1=pan" は両辺の対数をとる -注> 「α」=2, am+12=4a73 のとき, すべての自然数について am>0」について a2=4a=4.23 仮に a2= -4 bu= 3" 244-2 よって, 20 3" 2 2.244 2 34-2" 21 (1) 34-2-244 21-7 える (