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基本例題 73 放物線の頂点が描く曲線など
(1) 放物線y=x-2(t+1)x+2f-tの頂点はtの値が変化するとき、
線上を動くか。
(2) 定円x2+y2=r² の周上を点P(x, y) が動くとき, 座標が(y2-x2,
表される点Qはどんな曲線上を動くか。
解答
(1) y=x²-2(t+1)x+2t²−t
指針 (1) まず, 放物線の方程式を基本形y=a(xp)+gに直す。 頂点の座標を(x,y)
ると, x=(tの式), y=(tの式) と表される。 x=(tの式), y=(tの式)から変数を
去して, x,yの関係式を導く。
= {x²−2(t+1)x+(t+1)²}−(t+1)²+2t²—t
(2) 円の媒介変数表示 x =rcose, y = rsino を利用すると, 点Qの座標(X,Y)
で表される。この媒介変数表示からX, Y の関係式を導く。
CHART 媒介変数 消去して,x,yだけの式へ
={x−(t+1)}²+t²−3t−1
よって, 放物線の頂点の座標を(x,y) とすると
x=t+1
①, y=t2-3t-1
②
......
①から
t=x-1
これを②に代入して y=(x-1)-3(x-1)-1
よって
y=x2-5x+3
したがって,頂点は放物線y=x²-5x+3上を動く。
(2) x2+y2=2 から, P(x,y) とすると
x=rcose, y= rsin0 と表される。 Q(X,Y) とすると
X=y2-x2=r2 (sin20-cos20)
=-r2 (cos20-sin20)=-recos20
Y=2xy=2rcosersin0=rsin 20
よって
X2+Y2=r*(cos²20+sin²20)=y4
したがって, 点Qは円x²+y'=(r-^)2上を動く。
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S&TIONA
どんな
p.129 基本事項は
12.3
Fanida Of
-1-
-3
13
2xy)
NIU
E)
y=x2-5x+
t の値がすべての実数値
ると,①のxの値もす
の実数値をとり,頂点に
線y=x²-5x+3全体を
◄X, Y = O cos A,
□sin △ の形 -
sin³A+cos³ A=10
を考えてみる。
