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B1-46 (64)
第1章 数
列
例題 B1.29 群数列(1)
***
････となるよ
1から順に奇数を並べて,下のように1個 3個 5個 ...... 2
うに群に分け,順に第1群, 第2群, ･･････とする.
13 5 7 9 11 13 15 17 | 19
(1) 第n群の最初の数と最後の数を求めよ.
(2)第n群に含まれる数の総和を求めよ.
(3)207は第何群の何番目の項か.
[考え方]
各群にいくつずつ項が入っているか考える.
このように、数列をある規則によっていくつかの群に分けているものを,群数列と
群
項数
数列
1
1
1
2
3
3,5,7
3
5
項数の和
1
1+3
1+3+5
n-1
n
9, 11, 13, 15, 17
2(n-1)-1, O-2, O
2n-1 O+2,.....
1+3+5+....+{2(n-1)-1}
1+3+5++{2(n-1)-1}+(2n-1)
初項 1.公差2の等差数列{az},すなわち,a,=2n-1 が群にわけられている。
群数列のポイント
(1)第群の1つ前の群(第 (n-1) 群)までに頂数がいくつあるか考える。
(2)第n群だけを1つの数列として考え, 初項, 項数などを求める.
(3) まずは 207 が第何群に属するか考える.
解答) (1) 第群には (2k-1) 個の数が入っているので,第1
群から第 (n-1) 群 (n≧2) までに入る数の個数は,
①なぜい群じゃなくて、
n1 なのか
②この+1はどこから
きたのか、
1+3+5+....+{2(n-1) -1}
=(n-1){1+(2n-3)}
=(n-1)^ ...... ①
したがって,第n 群の最初の数は,
(n-1)+1=n-2n+2 (番目)の数である.
第n群の最初の数は -2n+2 番目の奇数であり,
その数は,
2(n-2n+2)-1=2m²-4n+3
これは n=1のときも成り立つ.
次に,第n群の最後の数を考える。
第1群・・・1個
第2群・・・3個
第3群・・・5個
第n群... (2-1
2(n-1)-1=2
より初項1
2-3 項数 -
等差数列の和
もとの数列{2m-
の代わりに
i maps//WW
FC
第1群から第n群までに入る個数を考えて①より,
2番目の奇数であるから,その数は,
2n2-1
よって、第n群の最初の数は2m²-4n+3,
最後の数は22-1
(2)第群は,(1)より 初項2m²-4n+3.末項 2²-1.
項数 2n-1 の等差数列だから,その和は、
wwwwwwwwwwwwwwww
1/12 (2n-1){(2m²-4n+3)+(2n-1)}
(2n-1)(4n²-4n+2)
=(2n-1)(2n²-2n+1)
22n+2とす
①と同様にして
られるが、①の
の代わりに
とよい
初項 α,末項
nの等差数列の
S=(a+
