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基本 例題 45 √3 が無理数であることの証明
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命題 「n は整数とする。 n2 が3の倍数ならば, nは3の倍数である」 は真で
ある。これを利用して、√3が無理数であることを証明せよ。
基本 44
CHART & SOLUTION
証明の問題 直接がだめなら間接で 背理法
√3 が無理数でない (有理数である) と仮定する。 このとき,√3=r(rは有理数)と仮
定して矛盾を導こうとすると,「√3=rの両辺を2乗して, 3=2」 となり,ここで先に進
めなくなってしまう。そこで,自然数 a, b を用いて√3 = (既約分数)と表されると仮
定して矛盾を導く。
解答
a
√3 が無理数でないと仮定する。
このとき 3 はある有理数に等しいから, 1 以外に正の公約
数をもたない2つの自然数a, b を用いて、3= とされる。
ゆえに
両辺を2乗すると
a=√36
a2=362
よって、2は3の倍数である。
050+
α2が3の倍数ならば, aも3の倍数であるから, kを自然数
として a=3k と表される。
これを①に代入すると
9k2=362
すなわち
62=3k2
よって、62は3の倍数であるから, 6も3の倍数である。
ゆえに αとは公約数3をもつ。
これはaとbが1以外に正の公約数をもたないことに矛盾す
る。
← 既約分数: できる限り
約分して, αともに1以
外の公約数がない分数。
inf. 2つの整数 α 6 の最
大公約数が1であるとき,
αとは互いに素である
という(数学A参照)。
←下線部分の命題は問題
文で与えられた真の命
題である。 なお、下線部
分の命題が真であるこ
との証明には対偶を利
使用する。
したがって√3 は無理数である。
INFORMATION
■に伝わります。
Eb.d
例題で真であるとした命題 「n2が3の倍数ならば, nは3の倍数である」 の逆も真で
ある。 また, 命題 「n2 が偶数 奇数) ならば, nは偶数 (奇数) である」 および, この逆
も真である。 これらの命題が真であること, および逆も真であるという事実はよく使
われるので,覚えておこう。
PRACTICE 45Ⓡ
3
つまず
命題「n は整数とする。 n2 が7の倍数ならば, nは7の倍数である」 は真である。こ
れを利用して√7 が無理数であることを証明せよ。
2
C
集
