121.1 a-c-(b-d)=m(k-l)なら a-c≡b-d (mod m(k-l))になりませんか？？

494 演習 例題 121 合同式の性質の証明と利用 00000 (1) か.492 基本事項の合同式の性質 2、および次の性質を証明せよ。 ただし は整数, m は自然数とする。 5aとが互いに素のとき ax=ay (modm)⇒x=y (modm) (2)次の合同式を満たすxを,それぞれの法mにおいて, x=a(mod m) [a は mより小さい自然数] の形で表せ(これを合同方程式を解くということがある)。 (ア)x+4=2 (mod 6 ) (イ) 3x≡4 (mod 5 ) 指針 pp.492 基本事項 ③3 (mod m) のとき, -■はmの倍数である。 合同式 加法・減法・乗法だけなら普通の数と同じように扱える (イ) 「4 (mod 5) かつ 指針▷ (1) 方針はp.493の証明と同様。 (2) 解答 (1) 2 条件から, a-b=mk,c-d=ml (k, lは整数) と表され 性質を適用する。 が3の倍数」となるような数を見つけ, a=b+mk, c=d+ml よって a-c=(6+mk)-(d+ml)=b-d+m(k-l ゆえに a-c-(b-d)=m(k-1) (2) (ア) 与式から 5ax=ay (modm) ならば, ax-ay=mk(kは整数)と表 され a(x-y)=mk aとは互いに素であるから x-y=ml (lは整数) よってx=y (mod m) x=2-4 (mod 6 ) 24 (mod6) であるから (イ) 49 (mod5) であるから、与式は 法5と3は互いに素であるから ...... よって a-c=b-d (modm) x=4 (mod 6 ) 3x=9 (mod 5) x=3 (mod 5) の倍数 → = ▲k(kは整数) <pg が互いに素でpk が g の倍数ならば k はgの倍数である。 検討 合同方程式の問題は表を利用すると確実 (2)(イ)については, 次のような表を利用する解答も考えられる。 別解 (イ)x=0, 1,2,3,4について, 3xの値は右の表 のようになる。 3x=4 (mod5) となるのは, x=3のと きであるからx=3 (mod5) 注意 合同式の性質5が利用できるのは, 「aとが互いに素」であるときに限られる。 例えば, 4x=4 (mod6) ① については, 4と法6は互いに素ではないから, ①よりx=1 (mod6) としたら誤り! 性質2。 移項の要領。 -2-4-6 ( 6の倍数) また, 推移律を利用。 性質を利用。 XC 01 2 3 4 3x 0 3 6=1 9=4 12=2 2 表を利用の方針で考えると,右の表からわか るように x=1, 4(mod 6 ) である。 x = (mod m) またはx=6 (modm) を x=a,b (modm)」と表す。] x 0 1 3 4 5 4x 0 4 8=2_12=0_16=4 20=2 漢 練習 (1) p.492 基本事項の合同式の性質 を証明せよ。 ③ 121 (2) 次の合同式を満たすxを, それぞれの法mにおいて, x=a (mod m) の形で 表せ。 ただし, a はより小さい自然数とする。 (ア) x-7=6 (mod 7 ) (イ) 4x5 (mod11) (ウ) 6x=3 (mod 9 ) (1 IC (1) F

114.3 1からpのk乗までの自然数のうち、 pの倍数の個数がpのk乗÷pで求まるのはなぜですか？？

482 A 00000 互いに素である自然数の個数 例題 ( 114) [類名古屋大 nを自然数とするとき, m≦n で, mとnが互いに素であるような自然数mの 重要 個数をf(n) とする。 また, p, g は素数とする。 (1) f (15) の値を求めよ。 (3) 自然数に対し, f(p) を求めよ。 指針 (1) 15 と互いに素である 15 以下の自然数の個数を求めればよい。 15=3･5であるから 15 と互いに素である自然数は, 3の倍数でも5の倍数でもない自然数である。 しかし、 「でない」 の個数を求めるのは一般に面倒なので, 全体 (である)の方針で考える。 (2) は異なる素数であるから, bg と互いに素である自然数は, pの倍数でもgの倍 TRAND 数でもない自然数である。 (1) と同様, 全体 (である)の方針で考える。 (3) と互いに素である自然数は,かの倍数でない自然数である。 解答 (1) 15=3.5 であるから, f(15) は1から15までの自然数のう ち, 1-3, 2-3, 3.3, 4.3, 1.5, 2.5, 3.5 を除いたものの個数であるから f(15)=15-7=8 (2) p, g は異なる素数であるから, pg と互いに素である自然 数は,pの倍数でもgの倍数でもない自然数である。 ゆえに, f(pg) は, 1 から by までのby 個の自然数のうち D p,2p,......, (q-1) p, paig, 2g, , (p-1)q, pq を除いたものの個数である。 よって f(pg) = pg-(p+α-1) = pg-p-g+1 (2) gf (pg) を求めよ。 FRO =(p-1) (q-1) (3) 1からp までの個の自然数のう の倍数はppp1(個)ある から、f(p) はかの倍数でないものの個数を求めて f(p)=p²-pk-1 ISMAI ①pは素数, kは自然数のとき ② p q は異なる素数のとき ②' p q は互いに素のとき pの倍数 (9個) 練習 (3) ③ 114 (1) f(77) の値を求めよ。 gの倍数 (個) 1~pq pg(1個) bigと 互いに素 基本112,113) 15 程度であれば,左の解答 でも対応できるが,数が大 きい場合には,第1章の基 本例題1で学習した, 集合 の要素の個数を求める要領 で考える。 検討 オイラー関数(n) CADRE n は自然数とする。1からnまでの自然数で, n と互いに素であるものの個数をΦ(n) と表す。 このΦ(n) をオイラー関数といい, 次の性質があることが知られている。 $(p)=p-1, (p²)=p²-pk-1 (pa)=(p)o(q) 上の重要例題 114 の f (n) について,次の問いに答えよ。 <pg が重複していることに 注意。 はギリシア文字で「ファイ」と読む。 [(1) で確認] p=3,g=5 とするとf(15)=f(3.5) =(3-1)(5-1)=2.4=8 (pa)=(p)o(q)=(p-1)(q-1) (1-1/2)としてもよい。 (2) f (pg) = 24 となる2つの素数p, g (p<g) の組をすべて求めよ。 (3) f(3) = 54 となる自然数kを求めよ。 [類 早稲田大〕 1 STT p.484 EX80 基本 2 (2) CHA 解 (I) 20 素因 1か 1

(2)の(イ)で質問があります。 (n+2)段の階段の登り方を考えるのは、 最初に一段登る時と最初に2段登った時の場合分けをするためですか？ それとも、a[n+2]を表すためですか？ また、赤矢印のところはどういう考え方でしょうか。 よろしくお願いします！

基礎 134 場合の数と漸化式 (1) 5段の階段があり,1回に1段または2段 登るとする.このとき,登り方は何通りある か.ただし, スタート地点は0段目とよぶこ とにする. (右図参照) (2)(1)と同じようにn段の階段を登る方法が an 通りあるとする. このとき, (ア) a1,a2 を求めよ. (イ) n ≧1 のとき, an+2 を An+1, an で表せ . (ウ) αg を求めよ. 精講 (1) まず,1段,2段, 2段と登る方法と2段, 1段,2段と登る 方法は,異なる登り方であることをわかることが基本です。 次に、 1段を使う方法は5が奇数であることから1回 3回 5回のどれかです. そこで、1と2をいくつか使って, 和が5になる組合せを考えて, そのあと 入れかえを考えればよいことになります. (2)(イ)これがこの134 のメインテーマで, 漸化式の有効な利用例です. 考え 方は,ポイントに書いてあるどちらかになります. この問題では,どちらで も漸化式が作れます. (ウ) 漸化式が与えられたとき,一般項を求められることは大切ですが,使い 方の基本は番号を下げることです. 解答 (1) 5段の階段を登るとき, 1段登ることは奇数回必要だから, 1段を1回使う組合せは, 1段, 2段 2段 3回使う組合せは, 1段, 1段, 1段2段 5回使う組合せは,1段,1段, 1段,1段1段で それぞれ,入れかえが3通り、4通り、1通りあるので 3+4+1=8 (通り) (2) 1段登る方法は1つしかないので, α=1 2段登る方法は、 1段, 1段と, 2段の2通りあるので, a2=2

168.2 解説と少し記述の書き方が違ったのですが、 どこか記述に問題あったりしますか？

2周目 例題168 0 1101 M 母線の長さを①とすると、 "a²³² = 4²³² + (F) = a 70 × ²1 a = 3√24 この円錐を表面から見ると 左図のようになる。 このように平面で見たとき面積をSとすると、 = 4√2 よって上 S = 4√√12 · 4 = 4√2 球の半径をとじえ、左図のように頂点A、B、Cとおくと、 a S=1/(AB+BCICA)より、 42:1(32+32+ r 3 ³) V = £r. 1²³ = $x 8 = 4ā - 1²³² = 4a NO. サ DATE 4 KOKUYO

赤線部分がなんでそうなるのかわかりません

ONE 解答 基本例 |関数y=2 141 三角関数のグラフ (2) 日 π 2cos ( 12-10 ) のグラフをかけ。また、その周期を求めよ。 6 例題 一π てグラフをかく要領は,次の通り。 ① y=costを軸方向に2倍に拡大 基本のグラフy=cos0 との関係(拡大・縮小,平行移動)を調べてかく。 y=2cos (12)より、y=2cos2/21(0-1/8) 1 であるから、 基本形y=cos0をもとにし 3 →y=2cose ② ①を軸方向に2倍に拡大 倍は誤y=cos 0 注意 y=2cos( ③ ②0軸方向にだけ平行移動 0 π 2 6 移動したものと考えるのは誤りである。 CHART 三角関数のグラフ 基本形を拡大・縮小, 平行移動 1 よって, グラフは図の黒い実線部分。 周期は2π÷ 2 YA 2 3, y=2 cos(-)-2cos (0-3) 6 √3 3y=2cos (0) 4 3 3 27 -=- 11 π0π 2 3 -1 -2 SA! π 2 →y-2 cos(0). のグラフがy=2cos/1/27 のグラフを軸方向に π y=cose = 7 2π π 5|2 〃 2π ② y=2cos 10 103 3π 3,7 √22! 9-2 0 ! ---- 7 4π 27 = 4T 13 π 3" 00000 9 2π 0 ------ 基本 140 0 2 ③3③ だけ平行 0の係数でくくる｡ <y=cos' の周期と同 229 じ。 0軸との交点や最大・ 最小となる点の座標を チェック (2.0). (5.2). (1.0), (1. -2). Ⓒy-2cos6/19 (1x, 0). (1.2) (10) ・π, 試験の答案などでは,上の図のように段階的にかく必要はない。 グラフが正弦曲線であることと周期が4であることを知った上で,あとは曲線上の主な点 をとってなめらかな線で結んでかいてもよい。 B 4章 2 三角関数の性質、グラフ

わかりません💦どなたか教えてください💦 お願いします🙇‍♀️

9 次の図において, x を求めよ。 R Bx-P---5 C

出来れば途中式もお願いします

1 濃度の分からないアンモニア水溶液5.0ml を 0.100M の塩酸で滴定した時、当量点(中 和点は 7.0mL であった。 塩酸を0mL, 6.00mL, 7.00mL, 8.00mL加えた時のpH と POH を計算し、滴定曲線のグラフを作成しなさい (軸の名称や単位も書き。 白紙に要領良く 書くこと)。 また、この実験で使う指示薬は何か。 答えなさい。 1-1 塩酸を加える前のアンモニア水溶液のpHとPOHは? 12 塩酸を6.00mL加えた時のpH POHは? 1-3 塩酸を7.00mL加えた時のpHとPOHは? 1-4 塩酸を 8.00mL加えた時のpHとPOHは? 1-5 グラフを作成しなさい。 1-6 指示薬は? 2. 上記問題の1-2 [塩酸 6mL加えた時]) の溶液に 0.05M フェノールフタレイン メタノール溶液を0.1ml 溶かした時、 有色体と無色体は, それぞれ何mol 存在するか それぞれの構造式と共に示しなさい。 フェノールフタレイン平衡定数は, Ka 1.58x10-9 とする. 3. H3PO〟 が含まれている水溶液(リン酸 0.2mol/L) の pH を求めなさい。 pKai = 2.23, PKaz=7.21, pKus 12.3 とする. 4. pH=4.50 の Buffer Solution 200 mL を調製する時 0.200mol/L酢酸水溶液と 0.200mol/L 酢酸ナトリウム水溶液をそれぞれ何mL ずつ混合すればよいか, 答えなさい｡ 次に、 この Buffer Solution に 5.00x10M の水酸化ナトリウム水溶液2.0mL を加える とpH はいくつに変化するか。 答えなさい. 4-1 Buffer Solution の調製方法は? 4-2 水酸化ナトリウム水溶液を加えると、pHはいくつに? 4-3 この (pH=4.5) の Buffer Solution 200mL にピリジンを0.02mol溶かした時, ピリジン のプロトン供与体とプロトン受容体はそれぞれ何mol 存在するか, それぞれの構造式と 共に示しなさい。 ピリジンの平衡定数は, Kb = 1.70x10 とする.

１番です。解説は［1］などの記述に数行使っているため 最後に3つまとめて答えを示していますが、 私の記述の場合、同じことを2回書いてるような記述になっています。この記述でも問題ないですか？

重要 例題110/2次不等式の解法 (4) 次の不等式を解け。 ただし, aは定数とする。 (1) x2+(2-a)x−2a≦0 (2) ax² ≤axise 基本106) 指針 文字係数になっても, 2次不等式の解法の要領は同じ。 まず, 左辺=0 の2次方程式を解く。 それには の2通りあるが,ここで ① 因数分解の利用 [2] 解の公式利用 は左辺を因数分解してみるとうまくいく。 α<βのとき (x-a)(x-β)>0x<a, B<x (x-a)(x-B) <0⇒a<x<B α, βがαの式になるときは,αとβの大小関係で場合分けをして上の公式を使う。 (2) x²の係数に注意が必要。 > 0, a = 0, a < 0 で場合分け。 CHART (x-a)(x-B) ≧0の解α, βの大小関係に注意 解答 (1) x²+(2-a)x-2a≦0から (x+2)(x-a) ≤0 [1] a<-2のとき, ① の解は [2] α=-2のとき, ①は (x+2)² ≤0 よって, 解は x=-2 [3] -2 <a のとき, ① の解は-2≦x≦a 以上から a<-2のとき a≦x≦-2 a=-2のとき x=-2 -2 <αのとき -2≦x≦a ax(x-1) ≤0 (2) ax² ≦ax から [1] a>0のとき, ① から よって, 解は 0≤x≤1 [2] α=0のとき, ① は これはxがどんな値でも成り立つ。 よって、 解は すべての実数 [3] a<0 のとき, ① から x(x-1) 20 よって, 解は x≦0, 1≦x 以上から x(x-1) ≤0 0.x(x-1)≦0 a>0のとき 0≦x≦1; a=0のとき すべての実数; a<0のときx≦0, 1≦x ① 00000 [1] teli [2] [3] Vital -2 ① の両辺を正の数α で割る。 0≦0 となる。 は 「<または=｣ の意味なので、 <と = のどちらか 一方が成り立てば正しい。 < ① の両辺を負の数αで割る。 負の数で割るから, 不等号の向き が変わる。 注意 (2) について,ax Sax の両辺を ax で割って, x≦1としたら誤り。なぜなら, ax=0のと きは両辺を割ることができないし, ax<0のときは不等号の向きが変わるからである。 177 3章 13 2次不等式

これ赤線部分って青チャートでは省略されてて、 どういう要領で書くものなんですかね

証 109 定点からの距離の比が一定な点の軌跡 2点A(-4, 0, B2, 0) からの距離の比が2:1である点の軌跡を求めよ。 p.174 基本事項 ■ 2 指針 例題 定点A(-4, 0), B(2,0 ) 条件を満たす任意の点を P(x,y) とすると、条件は このままでは扱いにくいから, a>0,6>0のとき,a=b⇔a=b² の関係を用いて AP:BP=2:1 AP:BP=2:1⇔AP=2BP⇔AP'=4BP として扱う。 これを x, の式で表すと, 軌跡が得られる。 軌跡である図形 F が求められたら, 図形F上の任意の点Pは,条件を満たすことを確 認する。 CHART 条件を満たす点をP(x, y) とする AP: BP=2:1 AP=2BP AP2=4BP2 よって すなわち したがって 軌跡 軌跡上の動点 (x,y) の関係式を導く (x+4)²+y²=4{(x−2)²+y²} x2+y²-8x=0 整理して ゆえに すなわち x2-8x+42+y2=42 (x-4)2+y2=42, y4 2 B 2 P(x,y) 18 x 175 <AP > 0, BP > 0 である から平方しても同値。 よって, 条件を満たす点は,円 ①上にある。 逆に、円①上の任意の点は,条件を満たす。 したがって、求める軌跡は A 中心が点 (4,0), 半径が40円・ 注意 「軌跡の方程式を求めよ」 なら, 答えは ① のままでよ いが、 「軌跡を求めよ」 なので、 Aのように、答えに図 形の形を示す。 2 3章 <x,yの式で表す。 AP2={x-(-4)}+(y-0)² BP2=(x-2)+(y-0) 2 1989軌跡と方程式 ①の式を導くまでの式 変形は,同値変形。 円(x-4)2+y²=4を答 えとしてもよい。 アポロニウスの円 上の例題の軌跡の円は, 線分ABを2:1に内分する点(0, 0), 外分する点 (8, 0) を の両端とする円である。 の距離の比が min(m>0,n>0, m≠n) である点の軌 である。こ

非制限用法は、この写真みたいに全てコンマで分けて訳すのが正しい訳し方ですか？

12 She said she couldn't bring herself to count on me, which really let me down. ⑩ 彼女は 私を本