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2本の直線m-y=0
動くとき,Pの軌跡は円 (x-
なる.
13 軌跡/逆手流
P(X,Y) とするとき, 欲しいのは X, Y の関係式. X, Y を m で表
交点を m で表す必要はない
もよい。 次のように考える. (逆手流については,本シリーズ 「数Ⅰ｣ p.66 の 「ミニ講座・3逆手流」で
してから m を消去する必要はない. m を消去することが目標なら,交点の座標をmで具体化しなくて
詳しく解説してあるので、 是非もう一度目を通しておいて欲しい。)
逆手流
「tが実数を動くときの2直線y=2x+t...... ⑦, y=x+2t の交点の軌跡」を遊
手流 (点(X,Y) が求める軌跡上にある条件を考える) によって解いてみよう.
ガネを同店に後が続上の点であるかどうかできるかどうかで判断で代入した20
2=1+2を同時に成立させるうまいt を選ぶことができるかどうかで判断できる.
・①, x+my-m-2=0.
[])2+(y-[
(この場合,このような tは存在しないので, 点 (12) は軌跡上の点ではない.)
そこで,「点(X,Y) が求める軌跡上の点である」
解答量
P(X,Y) が求める軌跡上の点であるための条件は,
mX-Y=0...･･･ ③ かつ X+mY-m-2=0
を満たす実数 m が存在することである.この条件は,
Y
1°X=0のときは、③によって定まる実数m= が④を満たすこと,
X
すなわち,X+
x+/x-x-2=0 ∴. X2+Y2-Y-2X=0
X
+(8-1/2)
② の交点をPとする。
]から1点[
円(x-1)2+(y
⇔「Y=2X+t……⑦ かつ Y = X +2t……… ⑨ を満たす実数tが存在する」
と言い換える. (ア'により, t = Y - 2X であるから, Y = X +2(Y-2X) ⇔ Y=3X)
5
-2/2から
4
から1点(0,1)を除いたもの
･⑤
X
(ただし, X≠0 により, ⑤ で X=0 となる (0, 0),(0, 1)は除く.)
2° X=0のときは, ③を満たす実数が存在するための条件は Y = 0.
よって,(X,Y)=(0, 0) で,このとき④は-m-2=0であるから、③,④ このとき, ③ はつねに成立
を満たす実数m=-2が存在する.
←よって, 1°では除かれている
以上より,求める軌跡は, ⑤を空欄に合う形に直して,
のうち (0, 0)は軌跡に入る。
【別解】(図形的に解くこともできる) ②をmについて整理すると
x-2+m(y-1)=0.2直線①,②は, それぞれ定点O(0, 0), A(2, 1) を通る
直線であり,傾きを調べると直交している (m=0のときも OK).
mが実数全
よって、円周角の定理により, 交点PはOA を直径とする円周上にある.
①はy軸に平行にならず, ② はz軸に平行にならないから, 点 (0, 1) が抜け
る。 (以下省略)
」を除いたも
1.
(獨協医大,
例えば, X = 2, Y=2 のとき、
からm=1となるが,これも
左辺に代入すると
2+1・2-1-2=1≠0
となるので,③かつ④は不成
よって, 点 (2, 2) は軌跡上に
ことが分かる.
P
考
A(2,1)
x
