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130
00000
基本例題 79 2次関数の最大・最小 (4)
aは定数とする。 0≦x≦4における関数f(x)=x2-2ax+3aについて,次のもの
を求めよ。
(1) 最大値
指針 関数のグラフ (下に凸の放物線) の軸は直線x=α であるが, a のとる値によって､軸の
置が変わる。
よって, 軸x=α と区間 0≦x≦4の位置関係で,次のように場合を分ける。
(1) 最大 (区間の端)
(2) 最小(頂点または区間の端)→軸が区間の左外,内,右外
解答
関数の式を変形すると
f(x)=(x-a)^-a²+3a
y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で, 軸は直線x=a
したがって
(2) 最小値
したがって
練習
79
(1) 区間 0≦x≦4の中央の値は2である。
[[1] a<2のとき,図 [1] から, x=4で最大値f(4)=16-5αをとる。
[2] a=2のとき, 図 [2] から, x=0, 4で最大値f(0)=f (4) = 6 をとる。
[3] a>2のとき, 図 [3] から, x=0で最大値f(0)=3 をとる｡
[1]
[3]
[2]\
|最小
x=ax= 0x=4
→軸が区間の中央より左,中央,中央より右
い、最大
軸
!!最大
基本 77
最大
x=0x=ax=4
x=0x=2x=4
a<2のとき x=4で最大値16-5a
a=2のとき x=0, 4で最大値6
a>2のとき x=0で最大値3a
(2) 軸x=α 0≦x≦4の範囲に含まれるかどうかを考える。
[ [4] a <0のとき, 図 [4] から, x=0で最小値f(0)=3a をとる。
[5] 0≦a≦4のとき,図 [5] から,x=αで最小値f(a)=a+3a をとる。
[6] a>4のとき,図 [6] から, x=4で最小値f(4)=16-5αをとる。
[4] 軸]
[5] #
[6]
|軸
最小
x=0 x=ax=4
|x=2||
x=0x=ax=4
最小
基本114
まず,基本形に直す。
a<0のとき
x=0で最小値3a
0≦a≦4のとき x=αで最小値-α+3a
a>4のとき
x=4で最小値16-5a
x=0 x=4x=a
30TH
aは定数とし,関数y=x2+2(a-1)x (1≦x≦1) について次のものを求めよ。
(1) 最大値
(2) 最小値
〔類 センター試
ズーム 2次
UP
ここでは, 場合分け
軸の位置で
f(x)=(x-a)
軸は直線x=α
の図のように、エ
変わると、軸(
き, 区間0≦x≦
小となる場所が
よって, 軸の位
最大値を求
y=f(x)のグラ
大きい (右図を
したがって, 軸
イントになる。
等しくなるよう
[1] 軸が区間
[軸]
x=0x=q
x=4の方か
最小値を求
y=f(x)のグラ
なる。ゆえに,
ときは区間の方
[4] 軸が
軸
区間
x=ax=0
