練習
④ 46
**A {an}, {bn) *, (1±1)"=
=an+ibn (n= 1, 2, ......) により定める。
(1) 数列{an2+6m²)の一般項を求めよ。 また, lim (an2+b72) を求めよ。
818
(2) liman= limb=0であることを示せ。 また, 2, 2b を求めよ。
→8
80114
(1) (+)・*)
n+1
=an+1+ibn+1
① である。
n=1
-ħ (1+i)"³¹=1±i (1+i)"=¹±i (an+ibn)
==
n=1
[類 中央大 ]
←まず, an+1, bn+1 をそ
れぞれ an, bn で表す。
==
an-bn
2
an+bn
+i・
②
2
an-bn
an+1, bn+1,
an+bn
2
,
は実数であるから, ① ② より
2
an+1=
an-bn
an+bn
bn+1=
←複素数の相等。
2
"
よって
an+1 1² + b n + 1²
2
n+1
+
·= ( an¯¯bn )² + ( an ± bn )²
2
an²+bn²
2
=
2
ゆえに,数列 {a,+b,^} は公比 1/12 の等比数列である。
=12,b=1/2であるから
1+i
2
=α+ib より, a1=
a₁²+b₁²=
2=(1/2)+(1/2=1/2
2_
1\n-1
a+b2=1/2(1/2)^1=(1/2)^
←初項は 1/2
よって
an
01/12 <1であるから
lim(a+b)=0
n→∞
⑩
... 70
n→∞
ゆえに
n→∞
(2) Oman²man²+.6m2,0≦bm²≦am² +b72 であるから,③ より
liman2=0, limb2=0
n→∞
liman=0, limbn=0
© + 0 + 0 + rex = 0
← はさみうちの原理。
④
でもまい
n→∞
←liman=0から
72-8
