(3)について 何故tan=-2といえるのか教えてほしいです

(2 第1問 三角関数 (1) 直角三角形ABC において ∠ABC = 0, AB=2より BC=2cos0 (①) CA=2sin0 ( ここで00< ......① したがって 5角形 正方形 S= = 1/2BC・CA+BC 2sinOcos0+4cos2d (2)②は2倍角の公式を用いると S= sin20+4･･ () ·② よ D CE (1) sinza=25inacosa, 1+cos 20 sza=2cma (2) 2 =sin 20+2 cos 20+2 (答) と変形でき、さらに三角関数の合成を用いると S=√12+22sin (20+α) +2 半分とりな =√5sin (20+α)+2 (答) J いならここまで と変形できる。 ここで, αは tana = 2, 0<a</ ( -> を満たす実数であり, 0が①の範囲を動くとき, 20+αのとり得る値の範囲は α <20+α < "+α よって, Sは =1 20+α = = // すなわち 0=(-a) JJson(zata)+2 555m +2 ...... (答) =55-1+2 で最大値 5.1+25 +2 をとる。 (3)∠BAC=0' とおくとき BC=2sin0',CA=2cos' であるから S=1/2BCCA+BC =2sin'coso'+4sin'0' = sin 20'+4 1-cos 20' 2 S = sin 20′-2cos20'+2 =√5 sin (20'+β)+2 と変形できる。 ただし,βは tanβ=-2. <B<0 (③) (答)

230の問題で左下の青線からの計算がよく分からないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

- ½³ a (1-2cos4x+cos24x)dx 1* (1-2cos4x+ 1+cos8x 2 dx 半角の公式をくり返し用 いる。 1 =* 3 1 4 2 -2cos4x+ cos8x)dx 2 3 1 2 2 - (*-sin4x+sin8x]** 1 16 3 16 π (2) sin4xsin6x dx = - 1 2 Jo sin 10x-1/2 * {cos 10x-cos(-2x)}dx sinasinẞ = - {cos(a + B) sin2x = 0 (3) L cos20 do = I 2 2 cos20-1 -do cos20 1 -(2-) 19 = -[20-1ano] = 44 =(1/2)-(+1)-1/2-13-1 230 次の定積分を求めよ。 (1) (1) L√x+1dx - cos(a-B)} 2倍角の公式 cos20 2cos20-1 (2) S" |√1+cos2x = √1— cos2x |dx √x+1dx=√x-1dx+√x+1dx = = -2 -L'(x-1)x+(x+1)* dx (-x- − 1)} } ] + [ ³ ³ (x + 1) } ] ₁₂ (2) √1+cos2x = 6 3 16 + 3 √1-cos2x dx [ \V2cos* x − 2sin® x \da 42 | | ||cosx| —sinx|da - V2 ( * |cosx = sinx | da + -COSA | sinx|dx $ =√ √ 4z ( sinx – cosx|da + S sinx−(−cosx)\da グラフの対称性より, 求める定積分は y y=sinx I 4√2 √2 f** (cosx-sinx)dx =4V 2sinx+cosx] = 8-4√2 231 次の定積分を求めよ。 y= Cosx y-cost (1)dx sin20 (2) de (3) esin 1+ cos (1) e* =t とおくと, x=logt となり dx 1 = x 0-2 dt t t 1- e² xtの対応は右のようになるから e2x Lodde ex +1 dx = 12 1 t+1 t dt == (1) == t+1 dt = t-log|t+1| e²+1 =e-1-log- 2 (2) S sin 20 do = 1+cose · £*· 42sin@cose do 1+cose 0 0-> 4 dt ここで, cost とおくと -sin0 = 0 との対応は右のようになるから √2 do t 1→ 22 2 |x+1] = (-x-1 (x-1) x+1 (x-1) (与式) 2t 1+t (-1)dt = 2 = 2 √ √ 1 + 1 de dt √21+t =2[ = - 2 √ √ (1-111) de t-log|1+t 2+√2 =2-√2+2log- 4 (3) esinx sin2x = esin³x. 2sinxcosx πT x 0-> dt 4 2cos2 x 2sin x 1+ cos2x 1-cos2x ここで, sinx=t とおくと 2sinxcosx xtの対応は右のようになるから dx 1 t 0 → 2 0≦x≦のとき sinx=0 |cosx| COSX ≤x≤ cost (SIS) (4x) = √* -L² esin x 2sinxcosx dx } = [² e' dt = [e'] = √e-1

数3の定積分です。(1)について、解答では2倍角の公式で解いてるのですが、自分のように(下の写真)cos^2θを積分して解くというやり方ではできないのでしょうか。できるなら自分の間違っている箇所を指摘してほしいです、回答よろしくお願いします。

54 基本例 149 定積分の置換積分法 (2) x=asind 000 次の定積分を求めよ。 (1) では αは正の定数とする。 (1) S²√a²-x² dx (2) Or So √2 dx √√4-x2 指針 これらの被積分関数の不定積分は、高校の数学で出てくる関数だけで表すこ ない。しかし、特定の積分区間をもつ定積分については, 置換積分法でその ることができる。 この問題では,(1)x=asin0, (2) x=2sin0とおき換えると解決できる。 α 26 (1)xA a 02 CHART ax の定積分 x=asin とおく (1) x=asin0 とおくと dx=acos Ado xとの対応は右のようになる。 400のとき、cos0 >0 よって ゆえに 6 √a-x2=√a2(1-sin20) = √ a² cos² 0 = acost XC 0- 0 0 S² √a²x² dx = (a cos 0) a cos 0 de =a*S*cos² 6 do=a² a2 a² = 0+ 2 = a² 4 1+ cos 2 sin 201a² 2 TC √√3 3 + 2 == 10 2 1+cos 20 2 de π 1 √3 ( 6 + 2 2 解答 (1) 6

数3の定積分です。(2)について、解答では差の形で部分分数分解しているのですが、和の形ではできないのでしょうか。もしできるのなら、和の形で計算した結果答えがずれてしまったので間違っている箇所をご指摘していただければ幸いです。回答よろしくお願いします。

S x²+3 26278 de d2 (算で分けてみました。 い 8476 (4) 早 = {} [8x+ 8 (2+3)]);} "[]" 8 8 ++ (-x+) 3 11 s

(3)の⑤について、0≦x/2≦π　というのは、どこから求められたのでしょうか？0≦x/2≦π/2ではないのですか？

ケ: COS または、 かつ cos > > sin>0 coss<0 かつ sin <嘆く。 (5) と同値だね! 答え ク : まずは④について考えていこう! 7 の範囲は ¥45 2 7 7 7 2 IC 3 05 より 2 π 2 この範囲で COS- > となるのは、 0 方程式と不等式 -x< 52 2 72 000 2π 32 2π 172 7 COS -x=0 したがって, 2 5 Osょく または よく ・(ア) -π YA I の範囲は 次に, sin -1 0 について 0 IC π より sin =0 0 この範囲でsin >0となるのは, X π 0 < 22 したがって0<x<π ...... (イ) (ア)(イ) の共通部分を考えると、 0<x< π 3 7' 7 << 次に, ⑤について,先に 5 sin < 0 について考えると、 I (イ) 5 π π 3 ・π 0. 7 7 九

⑶において なぜm→+0のときt→+0となるのですか

EX 342 のすべてにそれぞれ1点で接する円の半径をbとする。 ただし, baとする。 xy 平面の第1象限内において, 直線l: y=mx(m>0) とx軸の両方に接している半径αの をCとし,円Cの中心を通る直線y=tx(t>0) を考える。 また, 直線lとx軸,および, (1) tをm を用いて表せ。 (2)を用いて表せ。 (3) 極限値 lim 1 b a m+om -1 を求めよ。 [東北大 ] YA ←直線 y=tx は,直 (1) 直線 y=tx と x 軸の正の向きが なす角を0とすると, 直線lとx軸 の正の向きがなす角は20である。 軸の正の向きとの なす角の二等分線である a → x 0 a y=tx 2 tan よって m=tan20= 1-tan 20 10-00- 2t ゆえに m=. ① 1-12 よって mt2+2t-m=0 -1±√1+m² ゆえに t= m -1+√1+m² t0, m>0であるから t= m ←2倍角の公式。 =00 ←tan0=t 500g ←tの2次方程式とみて 解の公式を利用。 (2) 半径が6である円をDとする。 Dの中心からx軸に下ろし (1) の図の黒く塗った直 た垂線にCの中心から垂線を下ろすと, sin0 について 角三角形 b-a a+b √2+1 b 1 t b-a = すなわち = a+b √t²+1 b 8209-1+ a b a -=Aとおくと A-1_ t 1+A 分母を払い, 変形すると √2+1-t>0であるから √2+1 (√2+1-t)A=√t2+1+t √ t²+1+t _ (√ t²+1+t)² = √√1²+1-t (√1²+1)²-12 A= したがって tan0=tから得られる直 角三角形 +2+1 =(√1²+1++)² ←分母の有理化。 1/2=(√+1 +t) ② a ...... (3) ①,② および,m→ +0 のとき t→ +0 であることから 1/6 iimo (22-1)=im 1-12 (21°+21F+1) m→+0m a t+0 2t =lim(1-t)(t+√t°+1)=1 t→+0 ←(√2+I+t) =2t2+1+2t√2+1, 2t で約分。

ク、ケが5/4πになるのか分かりません どのような計算をしたら、こうなるのでしょうか…？

大値、最小値の問題になる。 【例題】 002のとき, y = sin 20-2 sin 0-2 cos0-3とする。 r=sin0+cos 0 とおくと, yはxの関数 y=xア イ x- ウ となる。 π IC I sin 0+ オ カ であるから、xの値の範囲は一 キ で オ ある。 ク したがっては0= のとき最大値 コ(v サ シ をとる。 ケ また,yの最小値はスセである。 2倍角の公式から y=2 sin cos 0-2 sin 0-2 cos 0-3

0≦x<2πのとき、cosx+cos2x+cos3x＝0を満たすxを求めよ。 答えというより、解き方の過程やヒントを教えてくれたら嬉しいです🙇‍♂️

この部分はどうやって導いているですか？？教えて欲しいです！ サクシード数IIの485の（2）です！

よって, 4a=2π-3 であるから cos4a = cos(2x-3a) = cos3a したがって cos4a=cos3ate, (2) cos4a= cos(2.2a) =2cos22a - 1 (4)(- から 487 (2) (a =2(2cos2 a-1)2-11. (3) (a =2(4cos a-4cos² a +1)-1 CM (4) a =8cosa-8cos² a +1 =EAS (A) (5) 34 496 cos3a=4cos³ a-3cosa EAS TR (6) 85 (1) より cos4a=cos3α であるから(左) (C) 8cosa-8cos² a +1=4cos³ a -3cosa する よって EVE-TV-ENS= C 498 188 of

（２）の青で囲ったところが分かりません。どうやって変えたんですか？？教えてください

■次の極限を求めよ。 [100~103] sin 4x *(2) lim 100 (1) lim sin 2x x-o sin5x (3) lim sin 3x x-0 x x-o tanx tan 2x-sinx 1-cos 2x 101 (1) lim *(2) lim X-0 x x→0 xsinx (3) lim x-0 sin 3x+sin sin2x