225kを0<< 1 である実数とする。 関数 f(x)=x(x-3k) の 0≦x≦1 における最大値を求
めよ。 また、 最大値が であるとき,kの値を求めよ。
2
f(x)=x(x-3k)2=x-6kx+9kx
f'(x) =3x-12kx+9k=3(x-k)(x-3k)
f'(x) = 0 とおくと
x=k, 3k
(7)ok< 21/3のとき
f(x) の増減表は次のようになる。
x
0
k
3k
1
f'(x)
+
0
-
0
+
4k3
0
(1-3k)2
ここで
f(x) 0
f(k)-f(1) = 4k- (1-3k)
= 4k3-9k2+6k-1
=(k-1)(4k-1)
よって, 最大値は
(i) <k< 21/12 のとき
4
f(k)-f(1) <0 より 4k < (1-3k) であるから
x=1のとき 最大値 (1-3k)2
x=k, 1のときのf (
の値を比べる。
14-9 6
+) 4-5
4-5 1
であるから
-
4k3-9k²+6k-1
=(k-1)(4k²-5k+1
=(k-1)(k-1) (4k-
(ii)k= のとき
4
f(k)-f(1) = 0 より, 4k = (1-3k) であるから
x=k, 1のとき 最大値
1/1 << 1/3のとき
1
16
f(k)-f(1)>0より, 4k> (1-3k であるから
x=kのとき 最大値 4k
(イ)
(1)/1/3
≤ん<1のとき
f(x) の増減表は次のようになる。
x
0
...
k
....
1
f'(x)
+ 0
-
=(k-1)^(4k-1)
f(x) 0 7 4k³
よって, x=kのとき
したがって, (ア)(イ)より
(1-3k)²
最大値 4k
<k
のとき 最大値 (1-3k)2
(ア) (i), (ii) がまとまる。
<<1のとき最大値 4k
(ア) (iii), (イ) がまとまる。
4
