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基本 例題 30
整数解の組の個数 (重複組合せの利用)
0000
x+y+z=7 を満たす負でない整数解の組 (x, y, z)は何個あるか
(2)x+y+z=10 を満たす正の整数解の組 (x, y,
CHART & THINKING
整数解の組の個数 ○と仕切りの活用
z)は何個あるか。
p.294 基本事項
基本
(1) 直接数え上げるのは大変である。 問題を読みかえて, x, y, z の異なる3個の文字から
重複を許して7個の文字を取り出すと考えよう。 すなわち 7 個の○と2個の仕切り
順列を考え、仕切りで分けられた3つの部分の個数を, 左から順に x, y, zとする。
例えば 〇〇〇一〇〇一〇〇には
(x, y, z)=(3, 2, 2)
一〇〇一〇〇〇〇〇には (x, y, z)=(0, 2, 5)
がそれぞれ対応する。
(2)x,y,z が正の整数であることに注意。(1)の考え方では0となる場合も含むから
x-1=X, y-1=Y, z-1=Z
とおき, 0 であってもよい X≧0, Y≧0,Z≧0 の整数解の場合 (1) と同じ) に帰着させ
る。これは, 10 個の○のうち,まず1個ずつを x, y, z に割り振ってから、残った
○と2個の仕切りを並べることと同じである。
また,別解のように、10個の○と2個の仕切りを使う方法でも考えてみよう。
解答
(1) 求める整数解の組の個数は, 7個の○と2個のを1列
に並べる順列の総数と同じであるから
9C7=9C2=36 (個)
(2)x-1=X, y-1=Y, 2-1=Zとおくと
X≥0, Y≥0, Z≥0
このとき,x+y+z=10 から
解求める整数解の影
個数は、3種類の文字ェ
Zから重複を許して1個
る組合せの総数に等しい
H7=3+C=
=9C2=36 (
(X+1)+(Y+1)+(Z+1)=10
x= X +1,y=Y+1
よって
X+Y+Z=7, X≧0, Y≧0,Z
別解
A|B|C
このとき,○と○の間の9か所から2つを選んで仕切りを
入れ
としたときの,A,B,Cの部分にある○の数をそれぞれ x,
C2=36 (個)
y, z とすると,解が1つ決まるから
求める正の整数解の組の個数は、 A を満たす0以上の整数
解 X, Y, Zの組の個数に等しいから、 (1) の結果より 36個
10個の○を並べる。
A
z=Z+1 を代入
0000000000
例えば
00100000
(x,y,
を表す。
100
2)=(
PRACTICE 303
