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例題 128 点が動く範囲(2)
点(x, y)が原点を中心とする半径1の円の内部を動くとき,点(x+y, xy)の動
[東京大)
く範囲を図示せよ。
指針 x+y=X, xy=Y とおいて, 点(X, Y)の満たす関係式を導けばよい。
点(x, y)は原点を中心とする半径1の円の内部を動くから +y?<1
ここでx+y=(x+y)*-2.xy を使うと
4放物線の上側の部分
X 1
すなわち
Y>
2
2
X-2Y<1
変数の変域にも注意
しかし
CHART 条件式
x°+y<1 であるから,x, yの値には制限があり,x+y=X, xy=Yのとる値にも
がつくはずである。その制限はx, yの実数条件で,次のようになる。
x+y=X, xy=Y であるとき
I x, yは2次方程式 ピーX++Y=0 の2つの解である。
2 x, yは実数→D=X'-4Y20
答案 x+y=X, xy=Y とおく。
点(x, y) は円 x+y°=1 の内部を動くから
ゆえに,(x+y)*-2xy<1 であり
x+y°<1
の
また,x, yは2次方程式 -Xt+Y=0 の2つの実数解で
X?-2Y<1
点の座標は実数
ある。この2次方程式の判別式をDとすると
D=X°-4Y
実数解をもつための条件は,D20 であるから
X?-4Y20
よって,0, ② から,X, Yの満たす条件は
X?_1
0の条件だけでは不
十分。例えば、
1-i
1+i
x=
|2リース
2
キ
とすると
x*+y"=0<1
x+y=1, xy=;
2
ゆえに,点(X, Y)すなわち点(x+y, xy) の動く範囲は、
変数をx, yにおき換えて
である。このような
合を除くために,@
実数条件 D20 を
れてはいけない。
x?
2 2
したがって,求める範囲は,右の
図の斜線部分になる。ただし,
く
2
ソー、
境界線は放物線 y=-
を
2
1
2
2
0
含まず,他は含む。
V2
V2
