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数学 高校生

7. このような記述でも大丈夫ですか? (qC0=1なので書いていない点と、結末の文章が少し異なる点が解答例の記述と違うところです。) また、k=3qのときのみq≠0なのは 単にk=0だと「kは自然数である」という条件に反するからですか? また、実際の記述文で 2^k=2^... 続きを読む

20 0000 重要 例題 7 整数の問題への二項定理の利用 kを自然数とする。 2 を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余 [類 千葉大 ] 100 2であることを示せ。 VESA 指針 2=7l+4 (1は自然数) とおいてもうまくいかない。ここでは, んが 3g, 3g+1, 3g+2 3で割った余りが 0, 1, 2 (gはkを3で割ったときの商) のいずれかで表されることに注目し,k=3g+2 の場合 け2を7で割った余りが4となることを示す方針で進める。 解答 kを3で割った商をg とすると, は 3g, 3g+1, 3g+23で割った余りは0か のいずれかで表される。 2である。 A [1] k=3g のとき, g≧1 であるから C₁k=3, 6, 9, 例えば,k=3gのときは, 2=239=8° であり, 8°= (7+1) として二項定理を利用する 2を7で割ったときの余りを求めることができる。 ...... 2″=23º=(23)°=8°=(7+1)^ よって,2を7で割った余りは1である。 [2] k=3g+1のとき, g≧0であり g = 0 すなわちk=1のとき g≧1 のとき 2=239+1=2・239=2•8°=2(7+1)° 練習 = Co7°+ °C179-1 + +α Cg-17+Cg =7(Co70-1+,C,79-2+..+aCa-1)+1 (4) 7 2″=2=7・0+2 よって2を7で割った余りは2である。 [3] k=3g+2のとき, g≧0であり g=0 すなわちん=2のとき Q1のとき 2239+2=22・23º=4・8°=4(7+1)。 7.2(C79-1+,C179-2+..+,Cq-1)+2 (*) 10001 "(0[+1-)="|| 2"=22=4=7・0+4 _=7.4(C079-1+,C179-2++qCq-1) +4 別解 合同式の利用。 A までは同じ。 8-1 = 7・1であるから [1] k=3g (g≧1) のとき <二項定理 <k=1, 4,7, ****** は整数で, 2″ = 7× (整数)+1の形。 20+00001-1- +1000erer= よって2を7で割った余りは4である。 ANT [1]~[3] から,2* を7で割った余りが4であるのは,k=3g+2のときだけである。 したがって2を7で割った余りが4であるとき,kを3で割った余りは2である。 1 (1) (x³ (2) (x- (3) (x² 二項定理を適用する式の 数は自然数でなければな③4 [1] の式を利用。 2514 合同式については,改訂版チャート式基礎からの数学I+A p.492 ~ 参照 ← 8=1 (mod 7) 2k=239=8°=1°≡1 (mod 7) [2] k=3g+1 (g≧0) のとき g = 0 の場合 2=270+2 2k=239+1=892=1°•2=2 g≧1 の場合 esa [3] k=3g+2 (g≧0) のとき g = 0 の場合 24=70+4 2k=239+2=8%22=1%・4=4 g≧1 の場合 以上から2を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは2である。 正の整数nでn" +1が3で割り切れるものをすべて求めよ。 2 (1) 正 求め Je 08)000- |自然数nに対し CRAC ›3 (1) ( nCo (2) - 明 ないから, q=0 とg≧11 分けて考える。 (*) は 5 (1) の式を利用してい 5 k=2,5,8, Ex a=b (mod m) のとき α"=6" (mod m) (2) 〔類 一橋] C²1 EX5 (3) n ≧ (2) (3) (4) ④6(x HIN

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