練習問題６の１問目（☆）がわかりません。緑色のマーカー部分以外は理解できたのですが、数列{aｎ―3}は、、、、の部分がなぜそうなるのか理解できませんでした。教えていただけると嬉しいです。よろしくお願いします。

50 第2章 数列の極限 練習問題 6 次の漸化式で表される数列{az} の極限 liman を調べよ。 n→∞ 1 a=1, an+1 = -an+2 3 (2) a1=-2, an+1=- 3 2an+5 a-2--4- 精講 an+1=pan+g 型の漸化式の一般項の求め方は,数学Bの数 習しています. 付け加わるのは, 極限を計算する部分だけで -212<-1 29. 解答 1 (1) α=1, An+1= an+2...... ① る。 コメント 漸化式 an+1= 視覚化する方法が an とan+1 をxにおきかえた1次方程式 x= x+2 を解くとxy 平面上に ので, ・3+2 3= ...② ① ② より ok この点から がα2 です(図 さらにその 標がαとな =(a (an-3) an+1-3=- 3 y 数列{a,-3} は,初項 α-3=-2,公比 1/12 の等比数列なので? 3 1 n-1 an-3=-2• ok 1 n-1 an=3-20 -1</<1 <1より, lim liman=3 n→∞ n→∞ \n-1 = 0 であるから (2) α=-2,an+1= 3 -an+5

（3）について質問です。 この不等式はどの問いの何を使えば出来上がるのか教えていただきたいです🙇‍♂️

重要 例題 30 漸化式と極限 (5) ・・・ はさみうちの原理 平 づ <a<3を証明せよ。 26 (3) 数列{an} の極限値を求めよ。 00000 数列{an}が0 <a<3, an+1=1+1+αn (n=1, 2, 3, ......) を満たすとき [類 神戸大] /13-1/12 (3-0)を証明せよ。 /p.34 基本事項 3. 基本 21 指針 (1) すべての自然数nについての成立を示す 数学的帰納法の利用。 (2) (1) の結果, すなわち an >0, 3-ax>0であることを利用。 (3) 漸化式を変形して,一般項 αをnの式で表すのは難しい。 そこで,(2)で示した 不等式を利用し, はさみうちの原理を使って数列{3-αn の極限を求める。 はさみうちの原理 すべてのnについて pn San≦gn のとき limplimgn=αならば liman=a 710 818 2章 ③数列の極限 なお, p.54, 55 の補足事項も参照。 CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち (1) 0<an<3 解答 ① とする。 811 Famil [1] n=1のとき, 与えられた条件から①は成り立つ。 [2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 0<a<3 =k+1のときを考えると,0<a<3であるから ak+1=1+√1+ak >2> 0 +1+3=3 したがって よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 0<ak+1/30 数学的帰納法による。 <0<a<3 <<ak から√1+α > 1 <a<3から1+αk <2 [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。 < (2)3-αn+1=2-√1+an 3-an (3-an) 2+√1+an (3)(1),(2) から, n≧2のとき liml n10 0<3-an()(3-as) (1/2) (3-a1)=0であるか 3 lim(3-an)=0 liman=3 したがって 200 <3-a>0であり,an>0 から 2+√1+α >3 n≧2 のとき,(2)から 3-an< (3-an-1) (12/2)(3 an- <(1/2)(3-4) モン 練習 α=2, n≧2のときα an-1 1-12 を満たす数列{an) について 30

(イ)の解き方を教えて欲しいです！

(1) 次の関係を満たす数列{a} について, liman と limnan を求めよ。 lim(2n-1) an=1 N18 N1X (1) lim an-3 n→ 2an+1 =2

英文解釈の問題解説です。 写真一枚目が文の構造の解説、二枚目が英文訳です。 一枚目のS（主語）の位置がなぜそこになるかの 理由が分かりません。 どなたか解説お願いします💦

図解 58 (At the science festival), there were a lot of children V S Imany of whom asked questions about black holes]. 非制限用法

(2)(3)がわかりません(;;) 教えて欲しいです🙇🏻‍♀️

数列{an} は, y=2mson.y y=2vsbu a1=√2,n+1=√an+2 (n=1,2,... によって定義されている。 20sbn<2 (1)0 <an<2n=1,2,...) が成り立つことを示せ。 (2) 200sion π 2cosbn=an, 0<bを満たす b, の値を求めよ。 x. F (3) liman の値を求めよ。 n→∞ ocamc2-①とする [1]=1のとき、 2 + K√2<

⑶の問題で、解答の黒線の部分なんですけど、三分のニをニ乗していくと小さくなると思うんですけど、なぜ小なりイコールなんですか？？

例題 17 漸化式と極限 (3) a=1, an+1=√2+3 (n=1,2,3, ......) で定義される数列{am} について,次の問いに答えよ. (1)数列{an} が極限値αをもつとき,α の値を求めよ. (2)(1) αについて, anti-alla-al を示せ. (3) lima=α であることを示せ **** 「考え方」 (1) lima=α のとき, liman+1=αであるから, →:00 YA y=x これを与えられた漸化式に代入して考える。 y=√2x+3 求めたαが条件に合うか確認が必要.. (2)(1) で求めた α を代入し, 漸化式を用いて不等式の 左辺を変形する. a2a3 (3) 実際に lima を求める. はさみうちの原理を利用する. a=1 00+11 解答 (1) lima=α とすると, liman=liman+1=α なので, 無理方程式 8118 漸化式 an+1=√2+3 より α=√2α+3 ... ① 両辺を2乗して, α = 2a +3 より, α=-1 は ①を満たさないから. a=3 (2)|a,+1-3|=|√2a,+3-3|=| 2a,+3)-9 α=-1,3 √2an+3 +3 1 == -|2a-6| √2an+3+3 √2an+3+3 よって, a,+1-3|22|47-31は成り立つ。 == la-3≤an-3 (3)(2)より14,-31010,13| 2\n-1 2\2 n-2 3 ここで,4=1より、0a,-3=2....... \n-1 2\n-1 (p.98 参照) a²-2a-3=0 (a+1) (α-3)=0 α=-1, 3 が①を満 たすか確認する. 分子の有理化 √2+3≧0 より √2a+3+3≥3 √2a, +3+3 3 (2)をくり返し用いる. |-3|=|1-3| |=|-2|=2 Focus ② lim2(12/3) 0 とはさみうちの原理より、 →∞ lim|a-3|=0 11-0 よって, lima=3 となり、題意は成り立つ. liman=a= liman+= a 8-8

ここからどうすれば良いのでしょうか。教えていただきたいです🙇

Practice 12 ★★★★★ 動点Pが,正方形ABCD の頂点Aから出発し, さいころを振るごとに, 出た目の数が2以下なら辺 AB と平行な方向の他の頂点に移動する。 出た目の数が3以上なら辺 AD と平行な方向の他の頂点に移動する。 n を自然数とするとき, さいころを 2 回振った後に点PがAにいる確率 をan, Cにいる確率を cn とする。 [類 13 神戸大] (1) さいころを 2 回振った後, 動点PはAまたはCにいることを証明せよ。 (2) an, Cn n を用いて表せ。 (3) liman, lim cn を求めよ。 n→∞ 818

最後の一行の蛍光ペンのところの文ってどうして必要なのですか？

重要 例題166 定積分と和の極限 (3) ・対数の利用 00000 [防衛医大 基本144) 限値 lim 1 (4n)! nn V (3n)! を求めよ。 指針 まず, 1/(4n)! を簡単にすることを考える。 α 1 (An)! nV (3n)! nV (3n)! とすると 3n (371)...･･2･1 an- 1 An(An-1).(3n+2)(3n+1)+3n(3n-1)........2.1 n =1/12 ((3n+1)(3n+2) (3n+n-1)(3n+n)) n An=3n+nと考える。 更に、両辺の対数をとると, 積の形を 和の形で表すことができるから, lim (7)=S,f(x)dx を利用して,極限値を求める。 n→∞ ni なお, 関数10gxはx>0で連続であるから よって, liman=α が存在するなら 811 例題 重要 例 16 長さ2の線分A 等分する。 (1) AAPBO よ。 (2) 極限値 α = る。 指針 lim(logx) = loga log と lim xα lim (logan)=log (liman 交換可能 818 (1) 線分 よっ (2)求 SSC an= 解答 n (4n)! とすると √ (3n)! 1 (3n+1) (3n+2) (3n+n)} n(3+)(3+)(3+) (1) 線ケ 解答 よっ ゆえ an= = n //{(3+/-) (3+)(3+7) 1.(d(3+1/2)(3+/-)(3+n)} =(3+/-)(+) (+) よって, 両辺の自然対数をとると ◄ (n")=n 110g(3+1/2)+10g(3+/2/2)+10g(3+1/72)}=171210g(3+4) -log(3+ lim(logan)=log(3+x)dx=(3+x)'10g(3+x)dx logan=- n ゆえに 11-00 = 1 (3+x)log(3+x )]-f(3+x)3+x 44 =4log4-3log3-1=10gge =log- 関数10gxはx>0で連続であるから した (2)c -dx 部分積分法。 256 27e 256 liman= lim (loga.) = log(lima. 8+U 27e 練習曲 ③ 167 練習 数列 an = ④ 166 n² 7/4 P2n (n=1,2,3, ･･････) の極限値 lima” を求めよ。 12-00 [ 東京理科大)

この問題で「bn=」で式を置く理由を教えて欲しいです🙇‍♀️

数列{an} に対して, lim an+5 =3であるとき, liman を求めよ。 818 2ax+1 →∞ 1am+3

（2）数学的帰納法を使うとどういう回答になりますか？

基礎問 45 はさみうちの原理(Ⅱ) 数列{an} は 0<a1 <3, an+1=1+√1+an (n=1, 2, 3, ... をみたす ものとする。このとき,次の(1),(2),(3)を示せ. (1) n=1,2,3, ･･･ に対して, 0<an<3 よって, n≧2 のとき, 3-a.<(3-an-)<()(-a)<<()(3-a) 78 79 \nl (2) n=1,2,3, に対して, 3-an≦ (3) liman=3 精講 11-0 (1) 漸化式から一般項を求めないで数列の性質を知りたいときま ず数学的帰納法と考えて間違いありません。 (B (2)これも (1) と同様に帰納法で示すこともできますが、 「台」を 「=」としてみると,等比数列の一般項の公式の形になっています。 (3)44 のポイントの形になっています。ニオイプンプンというところでしょう。 解答 (1)0<a<3………①を数学的帰納法で示す. mir (i) n=1 のとき, 条件より 0<a< 3 だから, ① は成りたつ. (ii)n=k(k≧1) のとき, 0<ak <3 と仮定すると, 1 <ak+1<4 .. 1<√1+ak<2 n=1のときも考えて, 3-ans \n-1 (3-a) (3)(1),(2)より 0<3-ans()(3-as) 前に不等式証明 あるので匂いプンプン 11-00 ここで, lim はさみうちの原理より (3- = 0 だから, 42 lim (3-am)=0 liman=3 参 考 43 でグラフを利用して数列の極限 を考えました.今回は, 38の復習も 兼ねて, グラフで考えてみます。 (a) y=x as aa y=f(x) y=f(x)=1+√1+x と y=xのグラフを かき, α1 を 0<x<3 をみたすようにとれば, a2, a, ・・・と, どんどん3に近づいていく様 子が読み取れるはずです . (an) d a 3 10 I ポイント 一般項が求まらない数列{an} に対しても lima は, 次の手順で求めることができる ① anのとりうる値の範囲をおさえる 第4章 両辺に1を加えて 2<1+1+ <3 .. 2<ak+1 <3 よって, 0<ak+1 <3 が成りたつ. (i), (ii)より, すべての自然数nについて ① は成りたつ. (2) an+1=1+√1+an3-an+1=2√1+αn まず,左辺に3+1 (右辺)= (2-√1+am)(2+√1+αn) 2+√1+an をつくると (1)より,1<√1+am<2の両辺に2を加えて3<2+√1+an <4 両辺の逆数をとって1/1 3-4 >0 だから, 2+√1+an 3 3-a (3-an) 2+√1+an3 ∴.3-an+1 < ÷(3- ② liman(=α) を予想する →80 ③ |an+1-α|≦klan-α (0<k<1) の形に変形し て, はさみうち 3-an 2+√1+an <右辺にも3-αがでて くる 演習問題 45 xn²+2 √2+1= 1, 2, ...) で表される数列{rn} に 2.xn ついて 次の(1),(2),(3)を示せ. (1) √2+1<In (2) n+1-v (2) (3)lim=√2 8012