132
上
例題 130
130 n進法の応用
DE
自然数Nを5進法, 7進法で表すと, それぞれ3桁の数abes, cabun) に
なるという。このとき, a,b,cの値を求めよ。
4h3
[類 阪南大]
(2) 2進法で表すと10桁となるような自然数は何個あるか。
[昭和女子大 ]
Ap.437 基本事項②
OLUTION
n進法で表された数 各位の数字はn-1以下
(1) abc(s), cab (7) をそれぞれ 10進法で表して考える。………
その際, a,b,cは4以下,かつ a≠0, c=0 であることに注意する。
OS
CHART O
(2) n進法で表すとa桁となる自然数xについて、n≦x<
また,m≦x≦n (m,nは整数)を満たす整数xの個数はn-m+1個。
が成り立つ。
答
3桁の数 abc (5), cab (7) を考えるから
1≦a≦4,0≦b≦4, 1≦c≦4
N=abc(5)=cab (7) であるから
a.5²+b.5¹+c•5⁰=c∙7² +a•7¹ +6.7°
9a+2b-24c=0
26=3(8c-3a)
②
2と3は互いに素であるから, bは3の倍数である。
よって①から
整理すると
ゆえに
b=0, 3
[1] b = 0 のとき
②から
3a=8c
これと ①を満たす整数 α, c は存在しない。
[2] 63 のとき
②から
8c=3a+2
a=2,c=1
これと①から
以上により
(2) 2進法で表すと 10桁となるような自然数をxとすると
a=2, b=3, c=1
210-1≦x<
20 すなわち2°≦x< 20
この不等式を満たす自然数xの個数は
(21) -2°+1=2"-2°=2°(2−1)=2°=512(個)
2進法で表すと 10桁となる自然数は,
あるから
10□□ (2) の口に0または1を入れた数で
2=512 (個)
5 進数の各位は 4以下,
最高位の数字は0でな
◆10進法で統一して、 等
しいとおく。
◆8c-3αは整数
◆3と8は互いに素であ
るから αは8の倍数。
441
5≦3a+2≦14 であるか
ら 8c=8
20≦x<210+1 は誤り!
2≦x≦2-1 と考える。
0, 1を9個並べる重複
順列 (基本例題18 参照)。
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整数の性質の活用
