引き,
り立
道大]
れぞ
の円
。
り,
0
る。
0
う。
ÉÉÉ
重要 例題 90 方べきの定理と等式の証明
|円に内接する四角形 ABCDの辺AB, CD の延長の交点をE, 辺BC, AD の延
長の交点をFとする。 E, F からこの円に引いた接線の接点をそれぞれS, Tと
するとき,等式 ES2+FT2=EF2 が成り立つことを証明せよ。
指針 左辺の ES', FT" は, 方べきの定理 ES' = EC･ED,
FT2=FA･FDに現れる。 しかし,右辺のEF2については同じ
ようにはいかないし, 三平方の定理も使えない。
そこで,EとFが関係した円を新たにさがしてみよう。
まず,Eが関係した円として, △ADE の外接円が考えられる。
そして,この円とEF の交点をG とすると, 四角形 DCFG も
円に内接することが示される。
よって、右図の赤い2円に関し, 方べきの定理が使える。
121 METS
CHART 1点から 接線と割線で方べきの定理
[SPLAT
答
方べきの定理から
ES2=EC･ED
FT"=FA･FD
AADE の外接円と EF の交点を G
とすると
(3)
<EGD=∠BAD
また、四角形 ABCD は円に内接する
から <DCF=∠BAD
③ ④ から
①,
......
①.
⑤から
②⑥から
したがって
∠EGD=∠DCF
ゆえに、四角形 DCFG も円に内接する。
------
よって、方べきの定理から
B
EC･ED=EF・EG ・・・・・・
FA･FD=FE・FG
⑤,
ES2=EF･EG
FT'=FE・FG
ES2+FT"=EF (EG+FG) = EF2
1253-663101
☆
T
E
F
B
パッ
練習
右の図のように, AB を直径とする円 0 の一方の半円上に
90点をとり、 他の半円上に点Dをとる。 直線AC, BD の
S
Do
<EG+FG=EF
D
基本 89
(**) 011000
E
円に内接する四角形の内角
は、その対角の外角に等し
い。
SORER O
1つの内角が,その対角の
外角に等しい。
G
P
の位置関係
