例題
次の各問いに答えよ。
1 1 1
(1) 等式
+
3
y
x
16 不定方程式の解法
となる自然数の組(x, y) で x≧y を満たすものを
[13 1
求めよ｡
(2) x,yを1以上,100 以下の整数とする。 5x-7y=1 をみたす (x, y) は
[13
何組あるか。
解法へのアプローチ
(1) 分母を払って,(x-a)(y-b)=cの形に変形すれば,左辺の因数はcの約数になる。
(2) 方程式の一般解を求めて, 1≦x, y≦100 を満たすものを数える。
解答
(1) 等式の両辺に 3xy を掛けて分母を払うと 3y+3x=xy
xy-3x-3y=0
これより (x-3)(y-3)=9
ここで, x-3, y-3は9の約数であり,x,yはx≧y を満たす自然数だから
x-3≧y-3≧-2
したがって (x-3, y-3)= (9, 1),(3,3)
よって (x,y)=(12,4),(6,6)
5x-7y=1 ･･･① の解の1組を求めて 5・37・2=1
(2)
①と②の辺々を引いて 5(x-3)-7(y-2)=0
つまり 5(x-3)=7(y-2)
ここで5と7は互いに素であるから, x-3は7の倍数である。
したがって,mを整数として x-3=7m
すなわち x=7m+3
このときy=5m+2
1≦x≦100 より 1≦7m+3≦100
.....
... ③
==
Conf
97
sms
7
これを満たす整数mは、m=0,12, 13 の全部で14個ある。
また,これらの m の値に対して, ③のyの値は 1≦y≦100 を満たしている
よって、求める (x, y) の組は, 14組
= 13.8...
