-1+√51-1-√51
を2つの解とする2次方程式を1つ作れ。
2
2
和が 3. 積が3である2数を求めよ。
•
◇(1) 2次方程式の作成 2数が与えられたら,まず2数の和 積を計算する。
2 数α,βを解とする2次方程式の1つは
(a+B)x+αβ=0
(x-a)(x-β)=0
*0
積
この左辺を展開すると
マイナスに注意
(2)pgの2数をα βとすると
a+β=p.aβ=q
解答
したがって,解と係数の関係から, 2次方程式px+g=0の2つの解が求める2炎
和積
となる。
(1)2数の和は1+√5i+-1-5i=-1.
2
2
2数の積は1+5i-1-5i_(-1)-(√5)
_
2
4
32
-1+√5i
2
-1-√5i
B=
2
3
よって、 求める2次方程式は x2+x+ =0
①
これでも正解。
2
①の両辺を2倍して
2x2+2x+3=0
係数を整数にする。
(2) 2数をαβとすると
α+β=3, aβ=3
-200+
したがって,α β は2次方程式 x2-3x+3=0の2つの解で
ある。この2次方程式を解いて x=
3±√3i
2
よって, 求める2数は
3+√3i
3-√3i
2
2
(和)x+(積) = 0
a+β=3, aβ=3を連立し
て解くよりも早い。
2次方程式を作成する問題の答案
(1)解答の①の両辺を4倍した 4x2+4x+ 6 = 0 なども誤りではないが, 2次方程式を求める問
題では,その係数が最も簡単なものを考えるのが普通である。
(2)
上の解答では,理解しやすくするためにα, β を使ったが,実際の答案では,
「和が3,積が3である2数は2次方程式 x2-3x+3=0の解である」
としてもよい。
練習
46
(1) 次の2数を解とする2次方程式を1つ作れ。
(ア) 3, -5
(イ) 2+√5.2-√5
() 3+4i, 3-4i
(2) 和と積が次のようになる2数を求めよ。
(ア)和が7. 積が3
(イ) 和が -1, 積が1
