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であ
看護)
うな
(医)
8円 一
[zz+Bz+Bz+1=0は,βがという条件を満たすとき, 円を表す.
方程式 2
(ア)
(立教大 観光, コミュニティ福祉)
( 城西大 理 )
(イ) |z-2i=2z-i を満たすの全体は複素数平面の中のどのような図形になるか調べなさい .
(ウ) 複素数zが等式 | z-1=2を満たすとき, 複素数w=1+2iz を表す点Qは, 複素数平面のど
のような図形上にあるか.
( 東北芸術工科大 )
2+
|z-a²2= (z-a)(z-α)=(z-a)(z-a)=zz-az-az+aa
|z -α 2 の形にする
と展開できるが,これを反対向きに使うことで, zz+Bz+ B'zの形を | を用いた形に直せる.
za2 の形にすることにこだわり過ぎない
z=x+yi(x,y は実数) とおいて,x,yの関係式を
求める方法も忘れずに、計算量が少し増えたりするが, バーが出て来ないというメリットがある。
すでにこれについては述べているが, (ウ) のような問題に
複素数の足し算, 掛け算を操作と見る
ついてもこのような見方をしよう.zに複素数の定数を掛けるのは回転。 拡大に,複素数の定数を足す
のは平行移動にあたる.
解答量
(ア) zz+Bz+ βz +1 = 0 ..
(z+B) (z+β)=βB-1
これが円を表す条件は, |β|2-1>0
B>1.45
(イ) z=x+yi (x, y は実数) とおくと, |z-2|=|2z-i|のとき,
|x+(y-2)i|=|2x+ (2y-1) i. 両辺を2乗して,
x2+(y-2)2=4.2+ (2y-1) 2 ∴.3x2+3y2-3=0
したがって, x2+y2 = 1 となるから, zの全体は原点 0 を中心とする半径1の円
(単位円) である.
(z+B)(z+B)-BB+1=0
∴.|z+B12=|B|2-1
∴.|z|2=1
|z|=1
(ウ) zwの変換を図形的にとらえる. zz× (2i) zx (2i) +1(=w)と考
YA
YA
えると, 点zを原点Oを
中心に90°回転して2倍
をして,さらに実軸方向
に1だけ平行移動して得
2
x
01
られる点がwである。
-1しているのはなぜ?
|z-1|=2は点1を中心
とする円である. この円は,中心と半径に着目すると上図のように移される。
よってQ(w) は,中心1+2i, 半径40円 | w-1-2|=4上にある.
08 演習題(解答は p.68 )
y4
2
$
12-211:2-4-2:1
【別解】|z-2i|=|2z-iにより,(z-2i)(z-2i)=(2z-i) (2z-i) であるから、アポロニウスの円の
知識 (13) を使って答えを確認
(z-2i) (z+2i)=(2z-i)(2+i)
.. zz+4=4zz+1
できる
x
4
+2
0
(x-2)2+(y-1)2=32 で表される円は, 複素数z=x+iy を用いて
|- (□+□i)|=0と書ける。 え=ェーiy とすれば
ええー(ローロ i)z-□+□iz□=0 とも書ける。また
=|z|と表すこともできる.
|z +B|=|B|2-1が円を表すな
|z + B12 は正の実数.
4
a+bil=√2+62
|z-2il=2
により
[逆手流 (13) で解くと]
w=1+2iz を z について解い
w-1
2i
2-1|=2に代入して,
[て, z=-
-
267 | 1027-1-1|=2
また |w-1-2|=2|2i|=4
..
なするのはなぜ?
(慶大・環境情報)
最後の式は右辺にも
があることに注意.2乗
して、手前の式と比較し
よう.
57
