例題 297 漸化式
思考プロセス
d1 = 5,/an+1
般項を求めよ。
例題
296
既知の問題に帰着
3a-2
例題296 で学習した, (ア) 等差型, (イ) 等比型, (ウ) 階差型
のいずれかに変形することを考える。
an+1=3an-2
= 3a - 2
an+1-α=3(an-α)
a
an-α = bn とおくと)
\an+1-α=bn+1
解 漸化式 αn+1=34-2は, α = 3α-2 を満たす解 α = 1
a
を用いて変形すると
Anel-1304-3
・・・) で定められた数列{an}の一
bn+1=36m (イ) の形
Action» 漸化式 ant) = p@a+αは、 特性方程式xp+g の解を利用せよ
12,
=
an+1=1=3(an-1)
ここでbn=an-1 とおくと
よって, 数列{bn} は初項b1=α1-1 = 4,公比3の等比数
1, 2
列であるから
bn = 4.3"-1
an=bn+1=4・3"-1 +1
したがって
〔別解)
・②
...
ant!
bn+1=36
3au
3091
an+1=3an-2① において、辛出会
nをn+1に置き換えると
an+2
3an+12
①,②の辺々を引くと
an+2an+1 = 3 (an+1-an) ... 3
数列{an}の階差数列を {bn} とすると,③
bn+1 = 3bn
よって, 数列{}は初項8
の
(ア) an+1=an+d
(イ) an+1=ran
(ウ) an+1=an+f(n)
^èmo. Ibn = An − 1 kh
an = bn +1
8+n8=E (1-2) an
a=3α-2 をもとの漸化
式の 特性方程式 とよぶ｡
p.523 Play Back 32 参照
特性方程式を用いて,
化式を変形したときは
展開してもとに戻ること
を確認するとよい｡
S
3+1 = (8-AS)
階差数列を利用した
{an}の階差数列{bmi
すると bn=an+1
と間道
bn=an-an-1
ないように注意する。
13 £
